TA的每日心情 | 开心
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑
@6 n0 F- X0 e& t; G/ E& n$ }$ Q1 W6 X- v! N# T/ `
下面继续./ S7 z" E- R4 u& a
! o+ r6 V+ H4 g+ F4 d
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.4 x+ Z+ P+ D7 M, u* r# |8 {! U
. Y( T4 G- |# m6 h通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
) c# l2 m1 M5 k+ M7 h2 I1 Hx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
% f1 j+ R1 u2 s$ L4 Q9 M
( i* S; T* A5 u) x+ E4 y现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
# q% Y. B+ w' i3 y0 K3 |: @1 h, F
在这种情况下,有意思的结论来了,5 r+ r) B {, W+ H
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
6 I M F6 ]) p& m* |& n9 X1 Sx在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less: a4 H& P& ?" T% l `4 Z
6 N' [5 S/ {5 D X, W9 ~我们立刻得出两条推论:
& Y- G+ o& T# X1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
) x- ]* x3 a! b2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.4 N h7 Y" \3 G' x
, n5 Q: m4 B: R% J7 q; |继续待续中.... |
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发表于 2020-11-4 15:13:04
