TA的每日心情 | 开心 15 小时前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑
+ Z( T( \1 @8 w8 ^
( {+ u4 M/ N6 O$ t下面继续.
7 @* u' f0 J$ x, y
6 k8 n: t- L8 T( `7 y; v说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.! V. b* |8 z+ j4 a; Y. M
/ W: g2 o) @# S' R' R6 _
通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
. O' L' y3 I) l& T6 q+ fx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).$ `* N7 x+ L+ u/ t' q
2 u/ c6 `# `; o/ M0 N- _4 l
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).1 I' l' }( F! P/ T
8 U) u3 \4 T* S% h( w. N4 O. S: {在这种情况下,有意思的结论来了,6 B7 C' l& U1 y( L! e) ~. v
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
' X" G. s- y2 w/ L3 Px在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less$ C B2 i" h) I+ ?
" ]8 _- X" a$ i' ~我们立刻得出两条推论:
$ j, o! U, Q( `- _* l3 N) g1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
6 `- k. Y8 r. J) M8 _2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.. V# ^4 e* [# O, w4 p$ ]9 }
# F, W) ?& y6 S' s" L8 V
继续待续中.... |
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