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TA的每日心情|  | 开心 4 天前
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| 本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 $ g1 m. k3 z# q
 / u+ }1 g0 Y. s$ J" @下面继续.4 r  E0 I) S! Z+ O: N
 
 5 H9 K9 a. c/ L8 D& i% }说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
 3 g$ B' c  f8 F) Z: T8 i4 z! l, n
 通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
 6 }5 W8 [  }( r# f: yx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
 . Q5 M% ^6 n& e7 C: [  z+ K+ E. J
 4 M) ]2 o. h/ Y- a& x现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).7 |) U( M5 H- h3 p! a
 
 9 R3 {6 V9 \( H% \- r! v在这种情况下,有意思的结论来了,& \. u9 H* L' Q% A
 x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,6 {5 i% U$ j: f2 W4 _* U! y
 x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less
 1 b2 F4 \, U( k  r8 n% M
 # u4 @( u; T$ a! _* e# `我们立刻得出两条推论:
 + Q) C2 K+ O3 J& w9 p1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
 & {6 z8 L- |- S, ?$ j2 O9 ?; v# a2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
 * F) D* W* M; B- d/ J8 o7 {3 b8 @) R
 继续待续中....
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