TA的每日心情 | 开心
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 2 W& C+ f( n+ ]5 f) j; k$ H, }
; a: f# j' S+ T) B下面继续.( B P8 V5 y" h& ~( }
2 h; n5 g8 ?! X; H( |$ }0 M
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.3 c) `/ s/ {0 d- E+ K& l$ M7 H" S# Y
( n# }( d ?6 S# [0 f0 z
通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是& T. B9 v, W C5 T9 S- q4 t
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
5 @! _) E9 @4 o0 ]" v& E+ [/ @' |; @$ z1 {4 c/ i
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
- F# T5 B* W* F7 B7 f
0 d, ^# D+ M6 t& Y/ O在这种情况下,有意思的结论来了,
9 _' G3 r- s _$ Sx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
; u! A+ x j7 G* _! D3 w9 cx在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less3 h0 w D: L( `/ i
6 r5 K5 V9 R* V$ E" a P l/ y我们立刻得出两条推论:
) q4 D+ h% U2 h6 `1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).; B/ O& U& s1 h3 v) S! ?' o! o: V
2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
3 G9 ?& i( O W2 @6 L W3 i4 H# x. J) B+ p p. q
继续待续中.... |
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