TA的每日心情 | 开心 2 小时前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 # A0 p& i$ c9 U7 V# e: I7 b" V
' v& \/ P0 m; X& K% d2 b, H6 k3 S, [2 Y, N下面继续.3 Y9 Q8 R I5 F( M
1 T8 K" P7 t) B F* ]4 h* m
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.+ x2 G4 u9 F3 K* G6 k' H9 `
* }1 R! A! I. f1 v8 o通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
4 J: F; t8 k" n! [ wx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
: n6 I/ m7 n# J' N/ g' i. {0 P$ E$ S6 C' M6 n- V4 O5 f0 o
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).6 o# V9 ?; W& b3 i! l: ]8 A6 K3 i7 `% \
, A3 u. A; H" Q a) ^& T在这种情况下,有意思的结论来了,4 n% T* o; v" m$ ^, q
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,/ B. z" e1 z) h/ A, C
x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less
" \6 s' Y$ d( Q8 i4 b& l/ w$ M& k. A2 x: P$ R& W e2 ~. `" M
我们立刻得出两条推论:5 L0 k, C. y3 y& b: l4 Q! F0 ~
1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
) ]$ S1 E5 d. w9 x3 s: p2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.7 a- x$ y$ `1 ^3 e% K
/ _5 @( V0 A- P* U# Z继续待续中.... |
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