TA的每日心情 | 开心 15 小时前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 # A$ k5 t9 m% f7 k" }# y- C: T
- l+ u3 o$ J9 ], m下面继续.6 y& ?* j4 H% x4 Y! E, i
0 M4 O) v" N9 _! B说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
" g5 |' J% i7 u2 J6 k9 P3 p# D
/ j: J2 D7 L; J; T f' `通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是+ z3 N" z" S: H* Q( W
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
6 g' [' |' k& H$ y& S$ q) @& A5 q3 N* K8 c5 P. k8 z, E' J
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).- x" T( f J! K/ M! H* i* u( l
6 [% {# @3 ]& i, J# ~+ X" \
在这种情况下,有意思的结论来了,
W( ~. _+ h2 v2 B. D9 yx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,6 t+ Z# @) J. h; A. S
x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less
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我们立刻得出两条推论:
, G' M5 ^& B6 [* T1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
7 W' L R6 A4 L- ?$ ~/ O' M# F2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.( [$ u* q8 A2 ?
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继续待续中.... |
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