TA的每日心情 | 衰 6 天前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 : e3 U6 q9 R- Z* `9 i- \
/ R/ A3 p# }/ [: D% |( q! m1 Z下面继续.
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说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.3 I, t8 B& r& m- ]' i
2 C/ q! y& `/ a9 P; U/ i
通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是# G0 a# T8 @8 P
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).+ m+ _& S# t+ o- s& Q6 \8 F& r
2 p4 X: B+ N, Z+ B% j E0 ]现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).9 M# ], u' i. y4 R' |: p
1 E1 \. B- ~5 a
在这种情况下,有意思的结论来了,
$ `' s5 s( T( i$ h+ v! o2 t' H, x+ dx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,3 N* D# P* U1 y" ^
x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less+ d' E+ K+ J2 h0 T* a4 U" \/ ~7 S
. O. ]: ^' r8 X% B4 m; y3 t h+ k' C我们立刻得出两条推论:" v! v3 U8 U9 F( a
1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
`3 Q3 r# b7 e/ j! l- X# z! x2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
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2 y/ n) k' Q. S9 z, z- w( q9 W继续待续中.... |
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