TA的每日心情 | 开心
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑
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* @4 ^1 w2 Q7 k7 I( N" |% g下面继续. x/ Z$ c# A9 @" J5 y
( ^$ g& A/ t: j5 x3 A2 w. w6 n8 L U
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
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$ E. U" Z0 i& A( Y% J( i通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是0 F- ?1 X9 Q% Q% U1 N. x+ T/ f
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
. Z' ^( x8 p" P j# l# m0 P: C5 k* }3 e3 v
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
) f; o5 }1 s. r. U0 s* u8 k+ }& q* V/ A$ }, g; t9 Z
在这种情况下,有意思的结论来了,
$ D8 B# C! F, ^x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,9 J# q4 w: ?1 m: t
x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less2 m9 V5 w! \( a
3 H2 _; t2 @9 z9 G' E我们立刻得出两条推论:
' @0 H0 H: G0 T, `- E1 p1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
2 C7 z2 t$ v" p$ a/ R* ^5 R/ \: S2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.' O( l6 e; U5 Q+ w/ E' D( K
1 f9 \# ?( C& m
继续待续中.... |
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发表于 2020-11-4 15:13:04
