问题：如何从数据里估算普瓦松分布的均值？

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:07
你可以试试,平移没有问题的.你把他想象成求重心问题,曲线平移x,重心也平移x.. ...

integral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)* (t+a)*d(t+a)=integral f(t)* (t+a)* dt=integral f(t)* t* dt+integral f(t)* a* dt=lambda+a (因为integral f(t)*a *dt=a*integral f(t)* dt=a,而 integral f(t)* t* dt=lambda)
6 h3 a3 N' E: l& f/ {形状右平移a个单位,重心也右平移a个单位

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:17
1 R3 j9 y$ \4 [3 D0 t3 Qintegral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)*  ...

0 k* v1 i2 T- }4 `当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

Dracula

晨枫 发表于 2019-2-5 01:06
) m& L1 D+ h0 `  c5 x8 b8 z( L呵呵，好久没见Melissa了。她笑起来还是很charming的！少了点妖气，这是她的长处，还是缺点。Too well ro ...

看来你不去我的那个Superhero电视剧美女贴，那儿我最近一个月基本上每隔几天就会贴几张的。昨天庆祝CW宣布Supergirl会有第五季，我刚贴了16张Melissa Benoist的照片。而且那里除了Melissa Benoist以外，别的美女我也经常会贴几张，象最近有Katie McGrath，Emma Watson，Virginia Gardner和Elizabeth Laith。欢迎常去那儿，观看加分。

Dracula

数值分析 发表于 2019-2-5 01:20
4 K( u  S& f% j" q$ R# b5 c* a* N当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

9 f- j: ^. S4 }/ X曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。
; X+ z, {9 M- F' r6 t+ y
; P" O# _' S; l; p- x6 F那个公式是sum(xi * yi) / sum (yi), 如果纵坐标的零点移动，就是说yi' = yi + t, 你再算 sum(xi * yi) / sum (yi)不等于sum(xi * yi') / sum (yi')
# o/ j1 F- c1 p4 r1 t
. _) _7 F2 C6 Q! x$ h

数值分析

Dracula 发表于 2019-2-5 01:37
曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。
) x. R8 e. S2 b& ^
/ t0 n3 q' w, N& s那个公式是sum(xi * yi)  ...

( B  s! \0 o7 X4 O" F所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重加起来和是1.即integral f(x)* dx=1,现在权重是温度,加起来肯定不是1.但只要除以总面积,(这里就是总温度),就还是满足这个关系的.不影响结果.晨风只关心最高点出现的位置,而不关心最高点是多少,这是关键.

晨枫

Dracula 发表于 2019-2-4 11:21
: `4 y5 t) r: I! x) N3 F; C看来你不去我的那个Superhero电视剧美女贴，那儿我最近一个月基本上每隔几天就会贴几张的。昨天庆祝CW宣 ...

7 H5 S, i$ Y3 `5 y这等好地方怎么错过了？赶紧去看！

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:41
所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
0 l1 ~9 x( l8 O' f+ T. M
/ Z5 H1 T2 \0 V; o7 d! c( a# Z多谢各位老大帮忙、指点。正在用Excel抓历史数据验算，看看这办法灵不灵验！

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
) n2 J$ c7 e3 K" x/ V
- t) v: Y9 ^+ L4 X多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

6 X; I: O! {9 f: ]6 z2 o4 Q$ `# x
' v* F! H- S; f如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步咱们再谈怎么修.

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
* C; n3 z* H( @  t2 v" p话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
) F/ V7 [7 u8 i1 S
多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

3 Z8 u& E3 ~0 _不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老结果平移n个单位.这个不管是不是博松,只要面积归一一定都灵.

Dracula

6 v( ?6 b2 I* g$ [

数值分析 发表于 2019-2-5 01:41
* C  v/ C6 w+ a2 V& C所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

  k( {) w* F2 u. o7 u5 A
! M7 D: X. m9 ?3 M) i假设一个最简单的情况吧。只有两个点，y1和y2，y1<y2，如果你把零点设在y1, 那么y2的权重是1，y1的权重是0，只有第二个点的值决定结果。但是如果零点设在接近于负无穷，那么不管y1, y2的值是多少，都接近相当于两个点的权重都是0.5。零点的选择肯定是对结果有影响的。但是因为零点的选择是arbitrary的，这种情况不应该出现，因此我认为这个算法有问题。
. s  v6 W+ [% Y2 j# w/ I$ ~

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:54
5 E  `* S' i$ D5 A3 A不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老 ...

! A! S& _* D/ F) V* r. t1 o我用“掐尾”正态分布已经试过了，不归一都精度不错。我再归一试试看！

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:51
如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步 ...

多谢！will report back!

holycow

数值分析 发表于 2019-2-4 09:41
/ L7 E% L9 ?" r7 s/ y所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

9 o+ G4 D" f% O! |伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观确定的，就不能拿来当scaling的分母

数值分析

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
5 P- D6 R. w2 o( C  n8 R# _伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

9 W6 v# Y8 S, |5 C3 R# E( K; P
这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以试想一下把泊松分布加上一,然后重新归一,也能得一个新的分布,这个分布也有期望,但期望很可能就不是最高点了. 不过单峰分布,只要不是骨骼轻奇(偏度skewness特别大),基本上最高点和重心差不太远.

数值分析

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

- p. J3 }3 j: X/ a0 y顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以.

holycow

数值分析 发表于 2019-2-4 10:32
0 Y2 K; b7 O; u; h6 C" E6 s4 P顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以. ...

1. 极值出在哪里，只要估计出lambda即可
% Y! G# E3 z# o$ s9 H* Q2. Lambda的估计需要依赖于归一
  u' u* _: m  `4 C7 Z% D% [+ Q7 F: y/ G3. 归一的分母是可以主观确定的 (导致曲线下面积变动)

( P0 F+ d% z% ~3 Y3 N就算是对称单峰分布，也要先解决这个峰的陡峭程度才知道这个峰在哪里，恰恰是峰的陡峭程度依赖于归一的分母...

tanis

数值分析 发表于 2019-2-5 02:23
- M" \( h( |" e7 K* l" m! m这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以 ...

( E% A- |# Z* @5 h0 Y2 `冒昧的问一句，你搞过竞赛么~

思维方式挺像的~

Dracula

数值分析 发表于 2019-2-5 02:23
这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以 ...

问题就是这个0度在哪儿你并不知道。至于曲线下的面积必须是1这一点，只要各个点同乘或同除一个数就都可以做到，这个条件并不能提供任何额外的约束来确定零度这个参数。
7 y# B5 H) E7 O  y  |! h4 a  _0 s& h

木不铎

不麻烦啊。查一下维基百科上关于“泊松分布”的页面嘛。

泊松分布的概率密度函数为

2 a7 `' X4 ~' b+ g( O" G其中λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率，k代表发生某类事件的次数。
这里有一个很好的例子如下：

; B% R0 C0 q4 n  [* p# J
& x0 |! Y0 o* e

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到 的估计为λ=（81*1+34*2+9*3+6*4）/231=0.8658。

' q8 M. _! [5 E6 e+ }$ u也就是说20秒之内平均有0.8658批客人。
* }( \) ^: f; M3 |& q3 ?9 {" {$ t
; X  c/ S* g" T+ c这个例子应该和斯基的问题很类似。根据统计数字，用这个MLE方法，就能得到你的均值λ

晨枫

木不铎 发表于 2019-2-4 15:31
5 U: M( v+ X1 n# C8 E5 i6 \不麻烦啊。查一下维基百科上关于“泊松分布”的页面嘛。

: u" X* V7 T8 |泊松分布的概率密度函数为

谢谢。这和42楼“数值分析”的方法是一样的。