问题：如何从数据里估算普瓦松分布的均值？

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:07
你可以试试,平移没有问题的.你把他想象成求重心问题,曲线平移x,重心也平移x.. ...

6 H% r0 e5 j1 r4 P8 s/ Z7 E6 kintegral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)* (t+a)*d(t+a)=integral f(t)* (t+a)* dt=integral f(t)* t* dt+integral f(t)* a* dt=lambda+a (因为integral f(t)*a *dt=a*integral f(t)* dt=a,而 integral f(t)* t* dt=lambda)
形状右平移a个单位,重心也右平移a个单位

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:17
integral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)*  ...

当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

Dracula

晨枫 发表于 2019-2-5 01:06
9 J( m  }- z5 @呵呵，好久没见Melissa了。她笑起来还是很charming的！少了点妖气，这是她的长处，还是缺点。Too well ro ...

! o# N( @! e: ^' U0 ~) G看来你不去我的那个Superhero电视剧美女贴，那儿我最近一个月基本上每隔几天就会贴几张的。昨天庆祝CW宣布Supergirl会有第五季，我刚贴了16张Melissa Benoist的照片。而且那里除了Melissa Benoist以外，别的美女我也经常会贴几张，象最近有Katie McGrath，Emma Watson，Virginia Gardner和Elizabeth Laith。欢迎常去那儿，观看加分。
; c& ~1 s3 ~; ?$ i( u( W5 B5 v

Dracula

数值分析 发表于 2019-2-5 01:20
2 S2 T8 j0 T2 V# t& a当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。

那个公式是sum(xi * yi) / sum (yi), 如果纵坐标的零点移动，就是说yi' = yi + t, 你再算 sum(xi * yi) / sum (yi)不等于sum(xi * yi') / sum (yi')

- F; r& f5 O! ~. f

数值分析

Dracula 发表于 2019-2-5 01:37
曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。
3 m) T  ]* w8 \( n5 s
; s7 D. ?& ^+ e那个公式是sum(xi * yi)  ...

9 S! i0 U3 e4 f& n, c% F所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重加起来和是1.即integral f(x)* dx=1,现在权重是温度,加起来肯定不是1.但只要除以总面积,(这里就是总温度),就还是满足这个关系的.不影响结果.晨风只关心最高点出现的位置,而不关心最高点是多少,这是关键.

晨枫

Dracula 发表于 2019-2-4 11:21
看来你不去我的那个Superhero电视剧美女贴，那儿我最近一个月基本上每隔几天就会贴几张的。昨天庆祝CW宣 ...

. G' N# W. o5 k这等好地方怎么错过了？赶紧去看！

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:41
; y! C2 `3 v; c* i) {2 B3 L所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

: I( L' H+ `1 ~2 l5 S/ o: X) D  O话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！

: ]- [; W7 v9 w* @& C& C+ l9 D多谢各位老大帮忙、指点。正在用Excel抓历史数据验算，看看这办法灵不灵验！

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
+ w% S+ S- V1 Q' T7 G话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！

多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

8 g  @% R: Z/ q6 T  M
7 v& F; Z" b5 |2 K如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步咱们再谈怎么修.

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
8 k# Q1 V" u" ^# F
多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老结果平移n个单位.这个不管是不是博松,只要面积归一一定都灵.

Dracula

) w7 ~$ X, n) h" G

数值分析 发表于 2019-2-5 01:41
所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

# W# F8 h) x# [
) j" n; s7 z# }, T' h, ]假设一个最简单的情况吧。只有两个点，y1和y2，y1<y2，如果你把零点设在y1, 那么y2的权重是1，y1的权重是0，只有第二个点的值决定结果。但是如果零点设在接近于负无穷，那么不管y1, y2的值是多少，都接近相当于两个点的权重都是0.5。零点的选择肯定是对结果有影响的。但是因为零点的选择是arbitrary的，这种情况不应该出现，因此我认为这个算法有问题。
9 h0 g. ]; C9 U* u; |
4 k* U6 q$ k  q+ }2 ?9 i
; Y. X8 A3 b% |0 F! W4 ]

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:54
/ ?* }  ^% D8 z5 m: F$ }3 c不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老 ...

6 v% {7 Q2 [) X; m/ u我用“掐尾”正态分布已经试过了，不归一都精度不错。我再归一试试看！

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:51
9 B6 U% i5 B0 e如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步 ...

. c- B; H5 {& J) o多谢！will report back!

holycow

数值分析 发表于 2019-2-4 09:41
7 T3 _6 Z! m9 r- {! O/ K2 m所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

8 n* l* \6 Q& x" y  {+ ?% D伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观确定的，就不能拿来当scaling的分母

数值分析

3 s1 Y  ^& ^8 y5 s" M8 W

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

" \! \- k! R# U- Y( V1 Q* ~
这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以试想一下把泊松分布加上一,然后重新归一,也能得一个新的分布,这个分布也有期望,但期望很可能就不是最高点了. 不过单峰分布,只要不是骨骼轻奇(偏度skewness特别大),基本上最高点和重心差不太远.

数值分析

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以.

holycow

数值分析 发表于 2019-2-4 10:32
& j$ ?3 c$ |* E$ G, W顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以. ...

: x( X) ^6 {( \1. 极值出在哪里，只要估计出lambda即可
% A- Z3 d/ W4 y1 N; |: X' x) z, H8 x2. Lambda的估计需要依赖于归一
3. 归一的分母是可以主观确定的 (导致曲线下面积变动)
4 d  L, l2 Y8 T7 p7 a3 f7 j6 |  q2 X
就算是对称单峰分布，也要先解决这个峰的陡峭程度才知道这个峰在哪里，恰恰是峰的陡峭程度依赖于归一的分母...

tanis

数值分析 发表于 2019-2-5 02:23
3 s+ G$ x1 q3 q) i) I- Q这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以 ...

" m) X0 l( S8 Y9 R3 V6 ]' }7 H' J9 f% v# Z冒昧的问一句，你搞过竞赛么~
" U! k- {+ A: b
8 L/ S5 Q6 Q: R8 s7 @+ |, o思维方式挺像的~

Dracula

数值分析 发表于 2019-2-5 02:23
: `8 p2 ?1 D& N这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以 ...

9 V. s5 _) J2 v问题就是这个0度在哪儿你并不知道。至于曲线下的面积必须是1这一点，只要各个点同乘或同除一个数就都可以做到，这个条件并不能提供任何额外的约束来确定零度这个参数。
6 d1 s6 W; u" P: H# ^
: S; v7 t( r' u" _/ h2 M+ L7 i

木不铎

不麻烦啊。查一下维基百科上关于“泊松分布”的页面嘛。
2 H. p. `% l% R# }
泊松分布的概率密度函数为

其中λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率，k代表发生某类事件的次数。
6 [1 N2 p: [. h; k这里有一个很好的例子如下：
: d6 g8 T5 P5 B
6 r8 S  e) L7 n: ?( m' q
! q9 S4 A- L* X8 X

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到 的估计为λ=（81*1+34*2+9*3+6*4）/231=0.8658。

# u! A5 a' T: `" n( M: F6 z0 B. J也就是说20秒之内平均有0.8658批客人。

2 z9 Y6 s. _% R& F这个例子应该和斯基的问题很类似。根据统计数字，用这个MLE方法，就能得到你的均值λ

晨枫

木不铎 发表于 2019-2-4 15:31
9 E# Y  S+ A" D不麻烦啊。查一下维基百科上关于“泊松分布”的页面嘛。
4 R8 W* T6 [3 J" p
7 z1 V# \& _- V8 y. q泊松分布的概率密度函数为

谢谢。这和42楼“数值分析”的方法是一样的。