问题：如何从数据里估算普瓦松分布的均值？

数值分析

( q! x# x: P. M; b, C; G
你应该不用拟合分布函数吧？你只想知道峰值的位置，然后你又知道（或者说你假设）是泊松分布，所以峰值的位置一定是 x=lambda,（这里lambda不一定是整数），那么剩下的就是从样本里推断lambda了，这是个典型的估计啊. 对于泊松分布，lambda正好是期望，所以一般来用样本均值估计期望。
# e- C/ L) \$ h0 a* I你给每一个板子从最左边顺序编个号，i=0，1，2，3。。。，然后设每块板子i的对应温度样本值xi，，然后计算sum（i*xi）/n [即累加所有的（板号乘以对应温度）然后除以板数】 （因为你的分布曲线可能和泊松分布差一个常数，所以最后结果得scale一下）不就可以了么？当然，这得假设你的histogram真的得长得像泊松分布分布。
2 M9 L: w' J) y/ a% P8 k2 a! r

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数值分析 发表于 2019-2-4 14:56
0 n/ F+ N$ r2 K- r你应该不用拟合分布函数吧？你只想知道峰值的位置，然后你又知道（或者说你假设）是泊松分布，所以峰值的位 ...

多解释一句scale那块儿。因为泊松分布曲线下面的面积是1，而你的histogram显然不是，所以你的histogram和泊松分布差一个常数。你求出来的lambda的估计要用你histogram的面积归一一下。

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- T* A+ n2 P2 z8 F8 l

Dracula 发表于 2019-2-4 22:53
" E# A3 R! C  H( J$ u! @我曾经想过一个和42楼类似的办法。区别是分母不是板数，而是各个板加在一起的温度的和。如果这条曲线真的 ...

这个和统计其实关系不大.你可以把他想象成求重心问题.已知一条曲线和x轴围成一个形状,如果这个形状是均匀厚度的匀质材料构成的一块板子,那么这个形状重心的x座标是多少?这个x座标(如果存在的话)就是这个分布的数学期望.这其实就是一个加权平均问题.当然,一个任意形状的重心和最高点的x座标当然不一定一致.不过数学上可以证明,高斯曲线和博松分布曲线围成的图形重心的x座标和最高点的x座标正好一样.和统计没关系.你再想想?

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晨枫 发表于 2019-2-4 22:38
+ R) H, \, _0 D# s/ ]$ H嗯，我再想想。谢谢。

) W) Y( C4 t* [- j
请见74楼回复.谢谢.

* A. u% _4 O' r; X  Y3 n任意偏态分布最高点的位置就不能简单的用样本均值来估计了.不过也有办法,如果已知分布函数可以用矩估计或者最大似然估计.

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Dracula 发表于 2019-2-5 01:02
这个和零点的选择是有关的。如果把温度类比为具体某块板的sample size的话，统计学的那个解就是以sample  ...

. o, M! S9 m1 R. a0 x你可以试试,平移没有问题的.你把他想象成求重心问题,曲线平移x,重心也平移x..

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数值分析 发表于 2019-2-5 01:07
你可以试试,平移没有问题的.你把他想象成求重心问题,曲线平移x,重心也平移x.. ...

" K3 a: _" s8 [1 W# I* f% f8 D3 G6 ~integral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)* (t+a)*d(t+a)=integral f(t)* (t+a)* dt=integral f(t)* t* dt+integral f(t)* a* dt=lambda+a (因为integral f(t)*a *dt=a*integral f(t)* dt=a,而 integral f(t)* t* dt=lambda)
形状右平移a个单位,重心也右平移a个单位

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数值分析 发表于 2019-2-5 01:17
integral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)*  ...

当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

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Dracula 发表于 2019-2-5 01:37
曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。

那个公式是sum(xi * yi)  ...

所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重加起来和是1.即integral f(x)* dx=1,现在权重是温度,加起来肯定不是1.但只要除以总面积,(这里就是总温度),就还是满足这个关系的.不影响结果.晨风只关心最高点出现的位置,而不关心最高点是多少,这是关键.

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晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！

多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

- u* }# Z5 G2 s/ p! Q3 E% p
/ `5 W) X7 o# e( H6 O& @如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步咱们再谈怎么修.

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晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
# [/ \/ V9 R: S/ I  G  v
2 u  g, g$ |8 a  }$ E* z多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老结果平移n个单位.这个不管是不是博松,只要面积归一一定都灵.

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1 l: `, R5 u* a( U+ Z3 X

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

/ w! N, _1 ?5 g
这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以试想一下把泊松分布加上一,然后重新归一,也能得一个新的分布,这个分布也有期望,但期望很可能就不是最高点了. 不过单峰分布,只要不是骨骼轻奇(偏度skewness特别大),基本上最高点和重心差不太远.

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holycow 发表于 2019-2-5 02:15
7 k3 \/ X# c6 C3 s+ m5 B伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以.

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holycow 发表于 2019-2-5 02:42
1. 极值出在哪里，只要估计出lambda即可
2. Lambda的估计需要依赖于归一
9 K7 m+ ^& u* @; q/ D5 J3. 归一的分母是可以主观确定的  ...

如果是对称的单峰分布的话,期望存在的时候,期望和峰度Kurtosis(也就是你说的陡峭程度)无关,一定在众数Mode,即峰值的地方.唯一的例外是积分不收敛,即期望不存在(比如柯西分布,这时候没有重心).对于不对称的单峰分布,唯一能影响期望的是偏度Skewness.
- s/ x6 o( g' l' R; p
这很直观,您再想想?

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tanis 发表于 2019-2-5 03:26
冒昧的问一句，你搞过竞赛么~

思维方式挺像的~

我希望我搞过.可以当年没赶上机会.
; y9 E4 v  g, ?
# T( w9 K4 f8 f0 t不谦虚一下啊,我一直觉得我要是搞竞赛的话能有点小成绩的...呵呵...

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Dracula 发表于 2019-2-5 03:43
0 I8 C0 _/ G* k' G$ K+ u. v问题就是这个0度在哪儿你并不知道。至于曲线下的面积必须是1这一点，只要各个点同乘或同除一个数就都可以 ...

. J3 R: O2 j! \5 O嗯...这个问题其实有点像"人择原理",不好表达清楚.
+ l/ T6 Q1 {6 i$ L这一切讨论的开始都是晨司机觉得这个曲线像泊送分布曲线.只有这个"0度"的位置合适,温度曲线才长得像泊松分布.如果你上下平移一下,他就不像泊送分布了.我不知道我说明白了没有...

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holycow 发表于 2019-2-5 08:56
4 ~2 S! ]" D$ J0 z你是对的，有影响的是分布的skewness. 所以归根结底还是晨司机在零度原点图上扫了一眼，觉得看上去像是泊 ...

对,我们可以管这个叫"晨择原理".这是这个讨论的出发点.