问题：如何从数据里估算普瓦松分布的均值？

数值分析

你应该不用拟合分布函数吧？你只想知道峰值的位置，然后你又知道（或者说你假设）是泊松分布，所以峰值的位置一定是 x=lambda,（这里lambda不一定是整数），那么剩下的就是从样本里推断lambda了，这是个典型的估计啊. 对于泊松分布，lambda正好是期望，所以一般来用样本均值估计期望。
5 {& X) I; O& d& I2 L8 P3 @, o' i你给每一个板子从最左边顺序编个号，i=0，1，2，3。。。，然后设每块板子i的对应温度样本值xi，，然后计算sum（i*xi）/n [即累加所有的（板号乘以对应温度）然后除以板数】 （因为你的分布曲线可能和泊松分布差一个常数，所以最后结果得scale一下）不就可以了么？当然，这得假设你的histogram真的得长得像泊松分布分布。

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-4 14:56
你应该不用拟合分布函数吧？你只想知道峰值的位置，然后你又知道（或者说你假设）是泊松分布，所以峰值的位 ...

多解释一句scale那块儿。因为泊松分布曲线下面的面积是1，而你的histogram显然不是，所以你的histogram和泊松分布差一个常数。你求出来的lambda的估计要用你histogram的面积归一一下。

数值分析

1 o2 {. L% Z8 b* k" K# Q1 _

Dracula 发表于 2019-2-4 22:53
我曾经想过一个和42楼类似的办法。区别是分母不是板数，而是各个板加在一起的温度的和。如果这条曲线真的 ...

6 r% ]) b+ m2 D% z这个和统计其实关系不大.你可以把他想象成求重心问题.已知一条曲线和x轴围成一个形状,如果这个形状是均匀厚度的匀质材料构成的一块板子,那么这个形状重心的x座标是多少?这个x座标(如果存在的话)就是这个分布的数学期望.这其实就是一个加权平均问题.当然,一个任意形状的重心和最高点的x座标当然不一定一致.不过数学上可以证明,高斯曲线和博松分布曲线围成的图形重心的x座标和最高点的x座标正好一样.和统计没关系.你再想想?

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-4 22:38
嗯，我再想想。谢谢。

$ ~% w8 b2 k2 y0 e! i! T  k请见74楼回复.谢谢.
2 Z2 B7 s) `# ^
4 e$ Y3 R+ ~, D  q任意偏态分布最高点的位置就不能简单的用样本均值来估计了.不过也有办法,如果已知分布函数可以用矩估计或者最大似然估计.

数值分析

Dracula 发表于 2019-2-5 01:02
这个和零点的选择是有关的。如果把温度类比为具体某块板的sample size的话，统计学的那个解就是以sample  ...

- k* A7 h6 I2 Q. i% ^( n: l你可以试试,平移没有问题的.你把他想象成求重心问题,曲线平移x,重心也平移x..

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:07
你可以试试,平移没有问题的.你把他想象成求重心问题,曲线平移x,重心也平移x.. ...

. h4 ^# s7 K% B2 y# `# r* Sintegral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)* (t+a)*d(t+a)=integral f(t)* (t+a)* dt=integral f(t)* t* dt+integral f(t)* a* dt=lambda+a (因为integral f(t)*a *dt=a*integral f(t)* dt=a,而 integral f(t)* t* dt=lambda)
3 z" k8 F& i; t9 p9 M  Y! l% d形状右平移a个单位,重心也右平移a个单位

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:17
integral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)*  ...

当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

数值分析

Dracula 发表于 2019-2-5 01:37
% T' l2 c' a$ V- f% e曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。

' {8 C$ i9 z& d" `* Y那个公式是sum(xi * yi)  ...

" k) d1 A  A7 p所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重加起来和是1.即integral f(x)* dx=1,现在权重是温度,加起来肯定不是1.但只要除以总面积,(这里就是总温度),就还是满足这个关系的.不影响结果.晨风只关心最高点出现的位置,而不关心最高点是多少,这是关键.

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
* K# j- W& {, _1 e. R8 J话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
; ~5 m1 l1 p; @3 q  G
4 X" G/ e7 |; C+ V/ L多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

8 ~- F$ g6 ^6 K1 i( E
, ~) K' ?8 S7 s% }. a: j. k如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步咱们再谈怎么修.

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
" P8 c& w  U9 K7 A8 I3 m  Y话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
9 v# a( @2 ~" b
多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

% t4 v, o5 _" S9 k不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老结果平移n个单位.这个不管是不是博松,只要面积归一一定都灵.

数值分析

8 @* B& k( j( S9 `; e

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
) x" p+ `: B6 d" \6 X伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

2 m+ l. N+ e  h" i3 a9 i3 y
这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以试想一下把泊松分布加上一,然后重新归一,也能得一个新的分布,这个分布也有期望,但期望很可能就不是最高点了. 不过单峰分布,只要不是骨骼轻奇(偏度skewness特别大),基本上最高点和重心差不太远.

数值分析

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
+ s0 }/ d- M, V5 x* F; F# o伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以.

数值分析

& Q# K7 r3 L' R3 |7 x7 K& |6 `' M9 l

holycow 发表于 2019-2-5 02:42
* i# ~* I/ b% d& ?- e& M/ i1. 极值出在哪里，只要估计出lambda即可
% o" \% `$ `' g) X' R" @& b2. Lambda的估计需要依赖于归一
2 s2 |* }" s$ t. B+ W" U4 i3. 归一的分母是可以主观确定的  ...

  l$ i- r0 \; J% o- y4 X
0 t# H0 F; ~6 M* J' S# o如果是对称的单峰分布的话,期望存在的时候,期望和峰度Kurtosis(也就是你说的陡峭程度)无关,一定在众数Mode,即峰值的地方.唯一的例外是积分不收敛,即期望不存在(比如柯西分布,这时候没有重心).对于不对称的单峰分布,唯一能影响期望的是偏度Skewness.
/ @1 N8 e8 m6 s% n/ Q" N" t# J
4 u' f$ q  _0 ^+ Q& C( b! X7 R这很直观,您再想想?

数值分析

tanis 发表于 2019-2-5 03:26
' L4 ~7 e) c" d7 h冒昧的问一句，你搞过竞赛么~
$ p# Q1 }; q: B( ?
# j2 _) Y2 U' C4 v5 Y! y思维方式挺像的~

* P  u# R# l. J/ w) I我希望我搞过.可以当年没赶上机会.
2 m1 F7 _5 S  I% S
不谦虚一下啊,我一直觉得我要是搞竞赛的话能有点小成绩的...呵呵...

数值分析

Dracula 发表于 2019-2-5 03:43
2 N9 y0 E# w, W8 Q" _( _1 l问题就是这个0度在哪儿你并不知道。至于曲线下的面积必须是1这一点，只要各个点同乘或同除一个数就都可以 ...

: X; X0 D9 T+ ~嗯...这个问题其实有点像"人择原理",不好表达清楚.
, V) h# `$ J9 [这一切讨论的开始都是晨司机觉得这个曲线像泊送分布曲线.只有这个"0度"的位置合适,温度曲线才长得像泊松分布.如果你上下平移一下,他就不像泊送分布了.我不知道我说明白了没有...

数值分析

holycow 发表于 2019-2-5 08:56
  D3 D4 ^( @: S$ p9 L) R) N9 ^你是对的，有影响的是分布的skewness. 所以归根结底还是晨司机在零度原点图上扫了一眼，觉得看上去像是泊 ...

对,我们可以管这个叫"晨择原理".这是这个讨论的出发点.