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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 9 s0 r2 ]! r2 c
) O, {1 `  A/ P5 K  X: X2 i  N
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
/ m0 D% b( p! m5 j$ B大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
* H  M' L: x* x- {, h, J, U. u% e7 B
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
  p2 S' B5 \; B; v: P4 G& f# f5 X* b) {7 i( T
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
5 |0 D, M/ z$ [) ?
& v: f. y" k7 i3 n+ L2 B9 d( i这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
, u* M' p7 |# ^/ ?  A0 k6 S" p6 E2 V
) Y7 j8 ^" W, g3 ~' g+ U5 O0 z所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
# I$ g9 ~% b; y4 _; _/ D& `9 a0 N1 J& i
3 d# \& L, h) o' N( a那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
$ u2 J3 |- h$ u$ U
# S; v0 f( m0 Z- p7 a5 I, u问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
9 l% w) w+ S. I, A& H2 ^1 y, q
$ W' Q, c( L' `, e
8 m, P* x5 P  g$ q9 X! J% z7 H* h量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 * ~8 M9 H) W2 v* B7 A4 W: `) ~
      M. j8 I3 V: b. y
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱# {! p, ^3 Z8 ^' U! N- s

    # w# Y5 H* y% R, Y8 j' I$ f6 q" p经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
    , Z4 \  t; U5 N& y: y4 c, T
    # }6 u9 ], m) m! S+ D8 Y理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系' T. }/ N0 G1 K
    . ]6 e2 Y" f! N4 }" V- I! s# P
    外行人瞎说的，别当真- z$ m& c: e6 u5 y7 u

    % y% {5 c2 a; g5 M' }$ G' [/ M" i) b! J2 p. N

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 ( b2 ^4 d& A2 a0 W6 c; @: h: B
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

    - c$ i+ |. o5 r2 x收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    $ C  a/ \" v4 r/ p+ Z4 b6 Z9 G效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    " E! H1 F9 A1 V6 l6 g你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
    : E* m# R! |4 w, J' l" y* b# u只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    . p  B# E4 ]( R  W收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    3 h5 ^& i2 X2 n% q# a效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    ' y0 a5 U$ d* w6 F" E' D! W你的意思是marginal ...
    ; b; R2 y: R- y9 }& U: _$ G3 U
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。' s* K; r" _, P0 F3 z7 a) D& u1 n

    1 k7 O3 I, d& `; B这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 / L7 A# o% s: ]
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱( ~* A# d6 R+ u, k
    0 Y0 f" R* [9 D' ]5 V1 X6 d" u5 C
    经济学又有点像理论物理 ...
    $ O& A  V. ]) W6 h! [) ?  s
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
    7 T0 N0 U* ]3 ?$ i0 ?4 v不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    7 _. d  j" A# B9 J8 w7 g就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。* Q5 O4 d& \$ F& C# {1 G' ^
    ; g, m; Q3 d& F& W7 Z% G
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
    0 {# W2 Y, v& y# H4 y
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。' l0 J( V" F; p
    因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 ! v0 T% H& A8 R; h! [* v
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    6 F7 q* H" p1 N
    ; j: Y. {; E8 ~1 `9 [% q所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 2 R1 r  \8 X0 L0 @$ @% S
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    * i( k1 @2 {3 T$ s& h: v0 x, P. S3 `4 z
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    : K1 v8 u  z# v你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。+ m/ e1 F  w5 K1 x

    5 v5 ^$ y; u, y' nhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory  B, _; p. T% n, _. l# z1 M
    9 t* s1 z. f2 @6 E
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
    : l$ ^1 L$ k/ n0 e. [$ W% k, N  C+ x# V2 j4 w

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 , |5 c, G7 m, Y
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱$ S& J1 ^' ?: ~2 x- m* o2 q5 c+ Y; P
    - T0 ?0 K- ?$ O+ l0 J- `
    经济学又有点像理论物理 ...

    9 i' z  [* l+ c: s经济学还能挣钱的。
    ' P1 F1 H1 E/ q& x! E3 U. v1 ~1 m( i, L! l/ ?" l
    , c; D7 V' g  U6 ~
    理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~; ^6 i. i, K# Q" I. R) f
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。3 B+ U+ M. J* G
    术语上来讲，叫calibration。
    , ~* p* H* [, t* s' V怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
    % W7 I- ^) r9 X2 }, u$ _2 Z8 P) S8 D5 o/ F, }8 }! x. d7 k
    上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。4 Y  v) T3 Q. }# S4 |3 ~- z
    那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。: }& b: n0 I; ?
    ——计量的方法。* S# r4 |6 O$ @# O1 H2 X6 F& N

    ) K% H  [3 L6 [2 I& o计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
    $ G2 Q  {! B3 p0 M  L3 X9 a  U# T+ i1 o0 X
    下面我提几个问题，$ L. g# l6 P5 L7 P* U
    比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
    9 i; b! o+ Z' \再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响) S; q6 H6 M: h, E( P- n) U, S
    再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？& d: Y8 x$ S+ S$ g
    这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。( ~* b& [1 ?8 G* y/ W9 {8 p. M
    术语上叫做regression。
    / |2 k2 K( V0 J6 p而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
    ' }4 |% n( p+ x5 {+ U9 N8 A( z$ {% x* i+ [; m- z, ~% j
    最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
    ) O" Y$ x3 {9 x9 T( @每个观测到的数据之间是否是独立的。& I+ A# v% o1 V9 x
    比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
    9 V) k' O8 z! e5 v7 P这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）) B4 v  k6 o, ^
    这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。& k- g  R7 m. c8 t
    ) W. ^- G; A' j* F0 t
    于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。7 b6 b) S5 y7 {2 [* z* F- |1 D. V0 q
    这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，7 ~+ \) z& `& f+ |
    至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。8 j' b. b4 G8 }" p- L
    8 a2 `" B; M. F3 \. h, k
    经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    - V4 g) S5 g6 p0 l下面就要来说说“量化”了~~8 P; l( `; ], h5 b
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    3 O) S* s1 ]  n, b3 a1 Q
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    9 Y2 M+ v; X( i) A3 I0 P效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    $ \  H; O6 ^) ]: D8 L
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    - V9 H( e# r- ]# i8 x6 S
    5 Y% f1 P, ^3 U比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
    : C# a* M. g  P, a2 j6 E3 ?$ m
    / T; U; E( r$ R3 a. N这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
    回复 支持 反对

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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    * x" i2 i4 I% Y" u. X' a+ |这个我有个模模糊糊想到的问题。# V0 {4 K+ ?8 v' d0 J

    3 H- @! H# }  R6 Q6 b6 u- J比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    7 e  J/ f7 J4 |& C, }
    万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。6 X6 H- ]# l& o
    0 A: K" ]* x2 \# x. k& h  ~4 t" W
    多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    - T& T" K; [/ u$ A5 l+ w下面就要来说说“量化”了~~
    & V& k& V0 d8 }; f+ F对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    ' r" Z0 `3 F  H2 v. u$ q$ W
    Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 . b- G$ Y8 x# v) D/ P. }
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 ; m' J9 d# e$ X7 p. f
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    / B1 o* c$ [* \; V* O7 A3 t+ W! [) x1 R& C5 {2 f, w
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    ! T5 |6 h. C. a' \$ |
    ' N0 {) I4 ?' u0 @0 w5 H3 o4 U+ G
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。6 G' I) I( x/ `) M, f3 S

    , m* ~$ \) X) w# X) U5 {% L; H金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。- V  z% y$ p; l5 g2 t
    ( L, l* n* @# i" }0 E0 p8 R1 d
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。8 W- U; Y4 w* |& y
    7 ^% |& w- L8 N8 J9 [6 {

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    假如十八 + 6

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