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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 5 F; \6 c' t" r. ?# i# F. E/ P

9 w2 L- t) {* E; C( K: d) b) l9 y经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
( F5 i4 g; M6 D8 f大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
9 u4 ^2 y' U) o. j0 _
: a, F: p  m. T: \$ f2 a不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。+ w0 U, W( h3 ^5 y
0 C7 k; ]) D% m& L" ?5 J, O
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
& \1 N1 v$ ~3 a, a$ V# ^
3 n# B* E! @7 q$ \8 c- P4 v0 \1 o这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）4 Q9 U( K% R  V; J+ t
- q8 p+ n; e. d1 \8 N8 R
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
. P6 t% [9 u) B: T. [: [& g9 @' Y8 l: a
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？+ x* V' B3 @6 V/ j& M9 R4 G, S
% x& q$ s* C2 b7 J: U
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。) A  G" m/ C4 l$ p

$ x" N. J/ M1 S7 R* W
7 h0 m, a$ l1 T1 w" R* b量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 0 n) E5 i: X: ~' u, |
    + N) r2 ]' B  R9 {  N1 M/ h" p
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱. z# w+ ~8 ~3 m9 x/ C5 _( o
    ( b0 b- z3 r2 l$ ]
    经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵$ g+ N& n/ E  _# G% g1 Z& }
    ) ~; F" u9 \9 h6 _
    理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系. S9 l. i8 m5 W$ ?' q
    # T/ U' P  A7 s* Z8 Q4 y
    外行人瞎说的，别当真- [4 z% R& M: n
    5 G8 W+ d% S7 i

    . n' E: {- H) ^5 Z9 ?

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 : a$ G- @6 r1 a; Y& p
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    $ y. A, K3 H* y+ V% ^
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    4 ?+ u, j) h5 X: S$ \' f效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    . e) C' o% I1 s2 ~, ?" M; Z+ l你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？% Z$ v- E2 M) P! Y$ l8 |: i
    只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 / b: i2 y9 V8 U+ ~% _2 c3 `9 u" ^% }
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    ( h$ u* B4 e8 }! _1 W效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~& g& I# C0 e2 W$ ]$ D
    你的意思是marginal ...
    * t6 [: S8 S& G: k) o
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    ; {: s/ _& T2 O4 Q9 {; c7 [, \$ N8 x  i4 f! g9 r
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 $ V; [4 F# Y" t  J! q4 v
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    " Q/ ?6 N: X- J- V1 ~& X/ P9 R( y% I7 W, N- n9 e( h; k
    经济学又有点像理论物理 ...

    $ R# e- ?1 q- ]; N9 d4 l嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。8 n, H8 X2 X% l
    不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 ) U. M+ H" d" d. D4 `! M
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。3 T+ t; V1 H- i' m$ s9 n- v

    " U/ S3 k7 {- c这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    1 s5 b1 e5 U3 a# j$ X: S0 D4 @几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
    . J6 @( h4 u$ P! b! m& W7 c/ o因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    + m% {/ ?6 [# F0 V: Z几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    - A# h4 j1 O5 ], y+ A6 \! ~6 p, k' u
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    % ^+ r4 K- O3 g4 J/ N; u5 W就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    * K! [. j5 F! p3 r8 j# q: p1 Z, ~3 \' R
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    + C  T) H9 p9 |. t3 _你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
    % K6 s7 B0 ^' I) S4 B% Q' Q9 \
    - V3 }- Y7 x0 ^2 ^3 w" lhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    1 F; _; x7 K7 Y5 q. U1 W
    : z  N. U$ M; O% s/ P经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
    ! d  V5 t( s0 J, w5 r; m) ]( B' T) E0 ?% c: D* W

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    $ w. I8 C9 P8 i: W. _5 y经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱7 ?2 d- S1 P' |: Z8 G4 m/ C

    ( h3 _7 `* A( }7 o经济学又有点像理论物理 ...

    $ N2 d0 U6 H5 m' \+ ~经济学还能挣钱的。
    9 ^0 x9 S& L8 N7 i" {" d( E+ o$ G6 B9 f" x2 i9 c
      @5 G& |4 g; I* r$ m9 r6 J% N; T
    理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    : m3 x7 b% M4 x1 }: h3 C+ G对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
    / [. B+ K9 E3 l2 g$ |术语上来讲，叫calibration。% V" E' y* a0 e- z7 a4 ^
    怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
    ; c; m# \1 @2 K3 d4 c. H+ f. `
    上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。8 m7 Q; Q# c& O: a: y& m  c
    那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。5 P0 |2 c% U* k0 [7 u# l
    ——计量的方法。# K) S& Z9 ^$ p: q9 W

    % q# U  {& x+ O9 Q) X& e5 L7 _计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。; U0 [0 n' Y9 R+ `3 E, Z
    9 e, @8 [5 a4 l$ i4 q
    下面我提几个问题，
    8 e- c  z* r2 Y" i& g比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？6 d; z8 x! F  _* [
    再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响% E$ s/ G( Z; s  [( x
    再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
    4 W" J6 X. ^. {这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。4 N  h- I0 P2 J. F( P
    术语上叫做regression。! O2 X( @8 x6 b" l6 ~' ~. ^. B
    而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
    2 o% j; ]. H! u, w% @9 E
    + D6 j# `- E+ i. v& w* K; M" u最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。/ H+ I& O) l0 i
    每个观测到的数据之间是否是独立的。% c2 q9 T( D6 X! m% @$ C2 ~
    比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。  m% |, \6 ?0 e8 _) d# d) f  p& z" d
    这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
    # q& N* p0 |9 W6 f% T* @这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。1 N: n0 q) m; J3 G, U, I( f6 d

    # s& }. L5 n- m% p4 O于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
    , ~2 z# s6 @, C6 C这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，& o1 h8 l5 I# Z! k1 E) ]
    至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。5 `, ^) M6 ?% D1 t1 i

    . `! V$ ?# l) V% I经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    四处张望 + 2 谢谢分享
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 * A. @2 W' Y" w' d' ]$ {
    下面就要来说说“量化”了~~4 G  {7 V. H6 P- H) p6 f, l2 l
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

      ^8 ^0 V# q; p所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
    回复 支持 反对

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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 , U6 b2 k% ]* z& w% E2 t' _
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    ( M$ e& q9 C3 P" S, _
    这个我有个模模糊糊想到的问题。6 i6 E* f( i: r* p4 }  l

    / y( K5 F+ k. F/ x5 m6 _比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。3 E' W& T9 _% M4 {  |
    6 h* c, f+ x+ J& G1 C' H6 R" o
    这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    " M9 H; o) S( J/ K2 v8 U这个我有个模模糊糊想到的问题。
    8 ^* V+ f  `9 A" A& p1 k
    ' l9 A, l  x& J# O; J7 ~8 T. b比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    - T% H& |+ ~1 q/ f5 U万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
    , y1 u2 K3 {/ ?; G. k) [8 H4 s8 S
    多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
      A, f: L% Z" w& [7 k% Z+ A下面就要来说说“量化”了~~
    3 Q. A( {" I* D$ }+ T对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    % X- t5 M, B" a' v$ P$ I/ d  [
    Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    6 c3 l5 p6 M7 D  R, Y/ ?
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    / ]% h/ T) O' u) v' t% C' ]; j这个我有个模模糊糊想到的问题。
    & K7 y/ k& o5 }+ G5 S% _& ?6 w4 @7 b  z5 D6 |! O/ e6 ~
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

      f  W; I3 b4 A3 n; B6 k. F: y6 ]3 k6 U* W' H
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。) t. C/ T, [* Z( @) d

    , F4 F' ?* J, x; Q4 p* n金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
    3 ~% Z: P4 |( E% T# ?3 B* J9 A$ G; V0 @& M( u) a2 ]8 e  `: L4 Y, G
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    - N0 s" J) G( c9 S; q& m5 D- {
    2 t2 i. S) e# Q* L8 ?4 y

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