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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
; x* F4 A& K2 t' g1 O. l( H
! f  q8 t( ]. T: O: c经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。  d7 D1 [; u8 l4 C  r. A
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。
3 R, N& h+ E/ B+ l& Q2 w& V" I8 u4 L& w
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
# b: y& j5 D; U  z* \8 T
4 J# A, ~5 B) {" ]$ g8 n2 z* d1 e' ?一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。$ k. O) u. |4 D' @* v8 y

# W- Y2 `$ I/ B9 `3 {这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
2 G+ B" J) Z$ o# G* y: R% f# Q- Q6 N: E. t: `9 X- ^! f% D& n
所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
4 ]  K: n' j: n0 v# b+ z5 |: i: X) V! f) ~
那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
8 \0 p; c0 Y. }" e0 w  S: ]9 O  n7 v  {8 x
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
% I& A2 }- ^4 U9 o4 ?5 K1 w
- E7 Y( d6 t* B% x! g

- I/ n3 E4 n6 \: u( ~+ ^量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    5 w# F/ z" F  t+ s- f6 b/ U5 X* z
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    0 j- G! I/ {1 p4 {1 S: B) C6 u/ Y( H9 U$ Y8 ]; L  e- o5 q4 i& b
    经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵
    5 y; j& q* \2 R- {  t6 s! c- Z. [! W. ?% R$ b
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系
    ( ?4 l9 u: d- q# ^9 @! V9 G' ?+ j2 }2 v6 J: s: h9 t
    外行人瞎说的,别当真6 i) R/ W7 C' o
    + s) L. F# H7 Z! j* p; @
    ) q/ t. |- ?) t% C& D

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 / U$ ]4 L: s6 v% N/ r
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...
    $ g: d. K" {7 Y6 _
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    1 M( y+ ^  H1 q+ _  p3 n8 L效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~' k6 k! ?5 Z+ _3 H
    你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?  M8 H% E/ b5 w1 A/ q# ?4 ^9 H
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    0 ?6 ^# T/ H! p+ G1 f2 U收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    : F: u, k$ u' K% l2 b* {" k# n2 Q# }% i效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~, H2 a, w2 g, [. g  F0 o4 L
    你的意思是marginal ...

    . O) J5 K) E) ?+ m8 N! B- `就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。4 [5 H$ ?2 k# ?" H4 B% z8 q9 S3 `) y

    ) E6 S! G: t: z+ ?, D' o这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    2 D! V: A) t. E0 A, t- l经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    4 R% p  i* P: z; M6 f; p% X) P
    0 M$ _; n" @; X经济学又有点像理论物理 ...

    ' [/ H) k1 V, |0 l嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    & E8 a) v9 y! I9 {5 Z不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 5 }1 u: ]4 u2 {+ O% D( s( e5 _
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    ; r% @% t& N+ _$ d
    - \) I  O/ h" t4 ?; J) V5 ?5 K这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    - Y8 c# R5 s  m, ^! ]$ m几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
    ' s; A$ @; ?, e7 ^  C" r+ P因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    7 V- b6 V  d2 A6 ^1 x几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    0 K1 h6 y5 n6 U3 w. ]; m/ k. o+ z/ m* v2 T
    . O& X# n$ A3 L
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 $ a* V$ B9 I8 U% Y- Z) w
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    $ x" L* O$ k% |% w: ]
    ; j8 W& w5 E1 l# R这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    . n2 P' r+ p  B- |( _8 h& }" |% B3 o你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。- l- k- a" f! F
    / o$ l; V2 F' T
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory- t9 j) x7 E7 ^# q2 O& J
    7 C/ g+ ]2 H; H# }0 j+ N4 W
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    0 E9 y8 ~/ f! P
    0 _5 n0 Z3 P1 o  r2 ?

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    1 l& [) o4 I, n. y* I* e经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    # s( l# w: h6 ]: h/ s. o+ q# i0 r, z1 V3 A) ~: @- ~; h' H6 M2 ~6 ]( H. r, X
    经济学又有点像理论物理 ...
    0 V' u5 D3 B/ z/ c2 Z
    经济学还能挣钱的。
    0 e- O5 A0 g& p3 J7 k* H5 y" }6 o+ t2 G9 a6 j+ B

    2 K! P( h/ a* u7 p理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    - C9 b  _! i& P5 Y  R* e对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。1 @3 T; h* S9 R, j
    术语上来讲,叫calibration。' @" @5 k- @: Q
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。+ L3 F0 k- C% B5 b  j$ o4 d
    5 o! L) h8 G2 j! [
    上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。8 M9 ?. u$ b1 g  C+ ^4 b" K0 T# P
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。7 ]; o. V2 |) h* ?
    ——计量的方法。8 w- s/ y, \+ f1 f  P$ V0 z* Z

    " G% d1 {1 D: ~2 o* z计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。
    % o0 r* T! r& ~3 B  {
    , g& x" `* P& u下面我提几个问题,$ [! x8 ^0 I7 K0 [  F7 p7 s
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    ! u) G; X3 `) O/ Z9 O7 J再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    ) t: L2 b, o1 s/ R$ [再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?1 w1 O2 \- s9 C: C, Z
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。' y& y. _  ^: K, ?% x
    术语上叫做regression。( U: i& M3 t! |, n
    而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    0 r: k" C8 ?4 R
    9 G' F' s' x' w# `0 p: d' f7 \6 A最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。) F/ f: G2 N) D. i& i+ [2 y
    每个观测到的数据之间是否是独立的。
    & U6 U# ]- Z; p( B5 E比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。. d- D2 y6 Z' U% Y6 ?; G3 R" D
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)6 ]+ o( A4 y9 E% y/ `  |3 K
    这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。
    7 h' R, b& L) D5 H
    ! e- [) _2 J, [  y于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。2 @+ F3 |1 r2 m# ~' H5 ]5 x2 Y3 g
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,4 F2 B4 h  `& N: d1 ?& H
    至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。. Q( `( x) I* v) O' o4 x* |; C& v

    4 A' g1 D  I  Y! W# {* \2 F经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 . }# W3 I. x5 H2 m
    下面就要来说说“量化”了~~
    0 e9 e6 o+ x' E; P& j: e对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    $ r5 p& U$ }& y& Z0 r/ O3 o所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    ! O: n9 b# R$ T* z( b效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    5 ]0 ]& c- ?: L( k0 c6 |2 H6 Q" \
    这个我有个模模糊糊想到的问题。4 Y0 ?  @7 r6 T3 N1 G
    * o7 B& V0 d8 t6 D) f% a
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。1 h5 D& N: D* o: a2 C' X
    / l* E+ ?$ A) d. f4 V0 \
    这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    ( I' D; h( ?/ @. O$ G& B* j) ~+ K0 y这个我有个模模糊糊想到的问题。
    & N# o4 n; n% E& X/ I% K1 e" ]; ?
    " r, J3 `& x9 o$ @0 K3 }2 J: `: A8 y比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    % m7 v; `, c: t4 }3 i  h  c& `万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    8 Q3 p# p" E' V+ C
      D4 ^" ^  x% n5 i: v; x& H多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 3 v7 E0 ~- N& S1 C
    下面就要来说说“量化”了~~
    0 N# G' t/ k" [! w- Y- k对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    7 \9 K9 I! V, @) CCabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 $ U4 F% u! h! b2 [1 x- g
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 : d- [9 _& A- J
    这个我有个模模糊糊想到的问题。* D+ V: ?+ Y7 I- U, j
    4 d6 J0 Q- ?! k
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    , F. S( k7 u. O# Z# `
    " I  Y0 T( e/ \% k* v* {$ {- V. r
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    . e& [  ~) ~; a) f# G2 z
    " z" N* r; u4 P. a, {7 E金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。# J8 T2 g. F6 }' e; S- |

    9 h# L6 Y% C6 ^3 t, [! B& X金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    , \# d+ r! Q2 @0 j
    7 ~2 N1 m" U# R& ?! L

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