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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
! R1 P* t3 V$ W% V1 Z% o8 U
- J, o' K7 M- {/ J% z1 J& d经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
  `, x+ Q+ e6 N  Z0 q/ @4 `大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。/ u8 v5 O2 C/ V6 P( b) A
1 D. w& e0 L9 Q9 b$ I
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。" |4 R4 \. G2 f! @2 _/ {6 g  D
* y1 ]! s9 _2 N& R" y
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
: M4 ~3 e. |8 Q
6 Z" l% H7 U8 h; Y& I2 m+ }# F这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）: N) F; S& ]/ Z# @1 i  v2 ~
" D! |3 G! Q: A& H
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
2 D' t+ P  U9 G: `* k
* l& s! d$ i! G; s5 F那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
" H" v" G$ J  {. E, F' W, K" T/ c( @! B+ U5 n4 ~# V) F( R. y& n! \
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。4 T0 }' u' D5 J3 q+ q2 U$ n
; U0 H' {5 _% c& z5 h1 q9 X7 }
: E( t  p! ^: r' k0 {* r8 J$ @7 j1 s. Z
量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 7 M, _% p# v$ [( O

    8 T, [, n3 r4 V" ^- O7 ~' x; I经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱6 m1 \5 ~; J  Y  I
    . q, T9 K% ^: l9 N: ^
    经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵- B7 e; X9 K% b9 Y8 K

    # I$ U* J; e" Z- G# s/ j' Z理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
    " J; @6 [% l/ t" h# N0 ]/ n7 c/ R$ h" _0 B1 o
    外行人瞎说的，别当真  D6 O& y3 c8 ]  g

    . o5 r* m" P: r7 N& [* U
    3 [% Z( s: w1 P& f) K/ ^

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 , X' V- M4 u$ H$ m( s# L; }$ N
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    1 I, y6 X1 a$ f
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    ! [8 Q! j0 u. f+ p效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    9 _3 K* C% V; k8 E9 @' F你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？" Q7 d. ]2 h( z' Z6 J6 ^. f' |9 v
    只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 1 f- S) k# X& M8 p% C8 Y
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。% z. G3 X3 M  w
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    % l% _- K3 R: x; H9 z9 T你的意思是marginal ...
    * u: w6 u* A8 N0 J6 l4 T
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。( @! x0 E& L( K
    . c6 Y1 \+ [% ?7 ]
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    * H: D8 X3 ~* s8 X- e9 n0 T经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱! p8 @2 }1 s% ~, ?7 l( r

    5 i; n6 M# Y. N/ Q1 W( o8 V经济学又有点像理论物理 ...

    7 x2 O0 w8 k+ o/ @嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。% _' E# _9 p4 I
    不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    4 q+ _' P. o- C5 _就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。# v3 ~* h: M6 |( j) t' ?  k
    % L( P3 i) k5 J. a# @) E( h
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    / C: P! S/ C) Z! c% q0 |/ ]几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。4 F4 {' F$ I7 h; W( W. d
    因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 " V5 W& q" V" W6 T+ h# h$ U
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    & P% Z. W4 [: e; U$ C$ [1 h

    4 I* x5 z7 v: j# s所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 & c- r6 Q3 ^% F# [7 H2 D
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。; ?' [2 S# @( D% j

    ! q; E! ^5 L: P) D# s2 G这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    + C  e' W8 J0 w# C你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
    * P( T  y4 |4 T; R
    " @4 p; V3 ~; ^. U0 h  Ehttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory: p1 D  ~! P4 T) s& Z

    " q, u- ]3 T" W& Y- R5 X" h经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。) ~) \' T3 |/ u  l! }/ y, H

    & V, N3 P, c1 c% Z/ _1 \6 e

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    4 O) }# B) B8 ~9 o经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱4 l! ^. C" X. S( Z( c
    ; r: r$ y1 y/ k$ Z
    经济学又有点像理论物理 ...
    2 k' f2 g( |+ R; i" r, Z( c
    经济学还能挣钱的。
    5 Q# N) C2 I2 e: S2 ^. w4 K2 I9 \  T2 Z
    ) Q! S. m2 ~2 X' A* s( u' c
    理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    ) J2 d  u( D3 H! z; }% D6 |对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
    " C3 Q' d# H" a术语上来讲，叫calibration。! R4 R: r. g: h3 U7 S2 `% y4 A
    怎么找呢？基本上就是来match empirical data。# H, T! a. ?+ I  J* W
    / |/ Z  ~1 m% [7 h1 d% i
    上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    2 M) B+ l# s* Z那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。1 [1 W/ R9 K& k) f9 f& H9 |
    ——计量的方法。
    . c5 |1 e8 P! X. W
    2 c2 w1 v4 X$ o! [. Z9 e计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。, S# q; }8 Z8 l& A, b9 T

    9 l# Z+ h- L; c$ m( g7 o. c下面我提几个问题，
    & b6 U2 \0 J2 g3 U比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
    - ^* k1 }* F7 {* s5 v* d1 \再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响! }6 v; T6 r' a6 n3 v, y# C# ]
    再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
    9 c$ K  |: }% t8 Q2 Q这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
    - K7 D- s, c: E4 z术语上叫做regression。
    $ x9 x6 J6 e" d0 U4 q3 U6 r而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
    " I7 l9 r2 A/ N* M* s) m' _6 I) A2 G
    最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
    % N) X2 n+ }" B: R. U0 c& v& |" C每个观测到的数据之间是否是独立的。
    : s" p. n6 I: B比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。+ |1 V; F( e, p" f0 j9 P
    这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
    : `; H7 ]( R( s+ V! k这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。# [' L, ~, ~9 r% _

    4 j0 R6 I5 C, t! i7 I1 e于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
    ) }$ L+ v5 f. B) y6 U* ^这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，* @; Q4 e! U2 v6 S3 n5 W. C
    至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。6 j" ?  h4 T: f+ p6 U
    9 E4 V. L6 Z$ u
    经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 - E; W2 N! g4 Z6 [+ H
    下面就要来说说“量化”了~~
    ; y0 L) m3 A' A: V" |对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

    8 O  r/ N5 y5 U( I/ j' }. U! j所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ' g( t0 n5 R9 u, C5 W  P& X  ~
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    ( [% g/ V" [5 E8 g
    这个我有个模模糊糊想到的问题。# K) d  f6 }1 k. c' F  G8 a. F

    5 v' T0 r# o- b! F! D, L4 `/ C3 y比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。& p; V/ ?( u: D" N7 u0 P" C
    , `/ ~( `8 d$ q' [
    这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 - j8 g2 R- v: h0 e4 h, K
    这个我有个模模糊糊想到的问题。( f& R$ R6 }& [) m7 P- d& D
    9 z1 M# c# c/ q$ N- m
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    & }) V- j, z; D4 u万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。- D, C+ m, z2 h1 L) L

      [9 b: g$ N- J5 B5 i8 n3 P; Q多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    - X: R$ [$ L' \( s* z: C9 G3 V" h下面就要来说说“量化”了~~! p4 b  p4 A$ b2 I6 x0 {; H
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    , d6 m4 A9 |: z  A" V
    Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    2 W! V4 F: W- @. ]3 y8 C# p
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 1 ^7 d+ d/ a3 V, i0 O' S$ {6 r
    这个我有个模模糊糊想到的问题。7 o9 }: Y9 c1 o6 @0 C9 b6 Z
    ) h3 B8 Q" q. H& t/ e2 _9 N
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    1 I) ?6 i( L1 W% Y3 O6 z4 v4 u$ f3 m* b6 _& K" X5 i
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。/ f% M  o0 w# Z2 K

    ; `: Q3 W/ v6 H! H! ^" e金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
    " s/ k6 Q$ U9 M: b# w) i% p7 H% l0 M6 _
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    % A$ Z) r* {# `! O& A) O4 H' ?$ ?: V$ B# k2 I* N& K+ [

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