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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
$ F* k8 Q) ^, F# V7 e. c
2 J# ^; y1 G- f- z+ Y$ b8 K! A经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。
6 h: r/ S3 x$ |5 K1 w大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。- R1 _1 L# j. ^0 q* Z7 Q) J
/ s' G) `/ e0 H7 W3 Q
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。- p& {+ o! Y( F: z# y' {9 H
# B+ z% f; w2 b' A7 p( l" A
一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。& `/ m0 {; s! h5 V4 U3 Z0 Z
: b$ v  `3 Z! X" [% M8 b
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
+ M; A/ }! P! s) r- B0 \* G  b- x. s. o+ N
所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。/ Q' \( S+ K2 Y3 S8 }

7 t5 [$ l7 u7 G9 j0 o% f那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?3 p+ d* Q" I/ m
7 ]$ O3 Q/ z1 s6 {
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
5 W. |5 g, d; x; C/ W& W5 X
; Q5 \# G& _4 s* `2 @( a4 h. p
5 l2 [: O: ^, z" W8 M7 ~- H
量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 % E: d! r  z/ b2 j

    , l- h9 f$ G% G+ B8 f经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    % S: v3 z9 i+ S- g* r- h( P
    $ e. H" O5 K0 ^. Z$ U0 w经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵9 ~8 _2 t8 E' x& x4 J3 H9 p

      H8 E# e$ _% m3 |3 \& X理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系/ j) l2 C4 N) G" A7 n" I& }' |8 S

    / T6 J& K% C" S. I% h% E) p) I外行人瞎说的,别当真) e  P2 ~$ f. B0 v  ~# Q

    - ?& z) k) ]6 A' U9 ^8 E) T3 ^9 I& u1 Z" j9 n

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 4 s/ }/ F8 }1 e* {5 s: l! p( R
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...
    0 d6 k- S  M6 K0 J
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    ( V+ v" [: ^! r8 f1 ], W效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~6 O% U" ^8 {; Q. Q1 E* Q$ o) Q' w
    你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?6 i2 H+ [2 V3 W& E, y( R
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    / k" F2 \: P: t  {2 A收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。) }7 g4 @$ ]6 O8 ?
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~1 i0 F7 S; A7 ^- j8 `
    你的意思是marginal ...
    / d, v2 _$ Z6 T. U3 @5 W
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    2 y& ?) e/ B* f/ U2 P. k4 z) v0 |: z) k! c  Z$ \  a
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    4 A8 ]6 a4 t- b经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    & O8 A+ \2 A" `$ t$ E8 c5 R  e3 O
    经济学又有点像理论物理 ...

    : b7 m' P5 w2 n) P2 O  J. {嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    3 G  Q0 s9 t% j/ C: _不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    % v. m5 T7 A6 `, D: d5 c就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。; R& n6 j- _( c

    8 i3 U/ X4 L8 Y2 B* t3 p( B这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    4 B& l1 B: x1 k4 k" ^几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
    " G/ Y- z8 W1 s1 l( K. c5 @因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 6 k( x4 |' e. N5 u; B" @
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    8 w5 ~; o; U6 w3 Y2 q% y  X3 W

    # F3 u8 T5 x4 u0 H, e+ s1 p0 \所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
      h8 B( V* Q7 s# n就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。7 H$ I; b  i6 \
    6 ^/ O$ L# W3 r! O# U. v  T
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    & s2 C4 s/ C3 U* G你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。
    / ~& z. L) _( Y% |9 w+ I  [3 Y
    + r' p6 @3 u4 R0 ]1 hhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    9 ^& k% y) w( U# G* E( W+ Q0 E3 n' W0 `
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    3 R9 I2 R' h( f- c' Q# ]# t) X1 S7 {2 O( Q; f/ h

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 8 }6 i4 `$ D% t9 D; V4 G3 z) Y
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    " V$ j% `2 n# Y) A6 p
    6 P( Q  w" }+ z# e; Y经济学又有点像理论物理 ...
    # ?; Z, s5 [7 R  G+ u# ~8 t+ d% R
    经济学还能挣钱的。
    % G- r; p; ^. v4 L$ k; a. H3 X; Q1 ~8 ?# x
    ' X% S8 t; E8 ?9 \
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~& i( L  m, G% M* n- c3 @
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。5 [, v% c5 F( O+ H2 a
    术语上来讲,叫calibration。# O& @( G' B9 d7 Z0 ^
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。6 V# k* T; ~5 S5 s% f8 ], t
    2 s- L8 m" `  t$ ]3 f
    上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。8 d; ~. k* v/ W6 \
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。) v5 y  F1 x& C" Z
    ——计量的方法。
    2 M; R; y: m' z3 S5 Y0 k
    9 y! q, H) W. A计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。* \9 Y) \; A8 |  t! H, l5 p
    3 F+ ?! a# g4 `% o6 [6 n0 z
    下面我提几个问题,) f, b8 ~* I3 C6 g
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?( p) m6 ~2 b; u2 J' C$ S" o+ S
    再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响: M1 K2 a( J6 Q# a
    再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?0 m& f) M: H1 N  h5 A, w4 {
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。( h# ]; g/ C7 C  f2 n
    术语上叫做regression。
    $ J0 D7 U: Z  j3 [, _: Z  Q而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。, O" O" S1 E6 T8 y2 [
    : X" F& _1 ^* C. R  ]
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。! R. ?% i1 e2 S$ a
    每个观测到的数据之间是否是独立的。$ o3 |4 `$ l" A
    比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。
    9 J2 c8 b5 a0 }" }4 O; T这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)
    8 a& |0 e! {# M. M. Y这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。$ ]* b. d) Q0 p( R( n8 v$ @5 I

    & }% V* J4 e* D于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。
    1 f# e' H1 S, c! o. R0 f" E! s& x这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    : b! H, q- I" y$ Z1 L( n至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    # u0 ]- w, ^9 m; W) n1 K0 H* g) e8 A3 }/ j5 q$ h2 \3 @" H* {$ }; K
    经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    6 c" i& I/ j' W9 M. _下面就要来说说“量化”了~~
    3 u* B2 R' a( a5 K对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    , c+ I" f6 \2 R2 u
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

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    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    - a: n& ^+ i3 n! ^, Q1 l9 V5 s效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    / _# q, K6 [4 e/ G这个我有个模模糊糊想到的问题。, n+ N$ F6 q$ a! G* E, I  u
      V$ G  W8 P! m4 p5 ^. M
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。5 E- ~: N" `9 R; [5 h1 W1 O( s
    ( w$ V+ N' O) d8 p: r# ~( ]
    这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 5 }0 x( k. N4 T) B& y+ j
    这个我有个模模糊糊想到的问题。/ W0 M* p, ?) _
    1 h  N: M! L+ G7 w
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    3 f; r0 e0 T4 j/ [5 B% k
    万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    3 d, V: u  |( o0 W: n6 V8 M' \. T8 d. Q- a) H8 V9 m
    多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    3 @/ K" e# V- e. o! T2 @下面就要来说说“量化”了~~/ P7 _& d4 B% t- r# |7 k, A, ]: k
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    ; M/ h+ d6 o' U; O' W
    Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 & \& o0 h& l! U6 A
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 * x/ {! m! l0 S7 E7 p
    这个我有个模模糊糊想到的问题。" j  v/ E& U% T# Z0 P

    ) ~% t0 k& E2 R& K2 g( j比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    ; j6 z3 A8 [. l+ E
    ' a) {! b7 z( a, t, q由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。. t. G3 {  X- T. G$ _$ y

    , _/ M+ K* |3 n, l3 S3 |金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    2 g9 Q! Z+ ]1 Y7 g3 M& \
    4 R4 h- P0 C. G6 j% ]1 M金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    - V9 q, m2 T! n2 k7 ^
    " Q$ s+ I2 @8 n- ?9 t

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