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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 ) u* k6 @' j/ j$ W: K2 @: |* u
8 A6 Y+ o; l) c9 x' w, k
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
$ D: L4 U8 K& r8 A& R& {大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。( j! M7 e6 u! C0 y
1 Y' ^( Y8 e9 H. x4 Y
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。" ^; d+ Z2 `  i/ _) Y

2 p$ r* X3 `6 L8 F一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
! A. x1 w9 s+ D! v, [$ ]3 I# R5 h- y2 l  i8 h0 o6 N7 j
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）$ ^( c7 a8 s, _" F

' n! O* g1 z6 D0 s1 M2 `所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。. R$ i# c( o! L
9 o  J3 h7 h% C; F
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？3 Y/ q1 D  B! {) O* B1 n
3 G3 [" D. g, p
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。3 y0 r8 g4 i4 H8 P, l

" {# Y2 ~  v- p' {7 k' ~) H% w, J  |( l6 D: H/ |
量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    + G6 l8 U( Q* T# H( z: p4 v3 O6 Y% P, a. B" N
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱6 S# H1 y' P+ p- e, l7 L/ [9 x

    - v; J9 C6 |5 |* G/ p经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
    9 B  t0 m5 Y- V0 A' Z( q% ]
    ) j, K, j4 t5 V* [理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系4 W9 k  w$ L0 g! Q4 q

    : X" R$ W2 b2 P7 M( H6 I! j外行人瞎说的，别当真( _! X5 }; I# S* ^3 g/ U
    2 B% {. ?1 f# ~" n" z" [

    : {. A1 y0 i) G5 _) U/ A$ R

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 * M$ t6 a( D8 }, E0 N0 U  q5 I
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    / q' Q4 }+ f3 d$ U
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。) g$ B( R& [5 l+ N
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    , k2 Z& u' i6 _1 D. @你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？2 V4 G/ Y6 y! N
    只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 ! a6 P3 S' b: v# g) ~6 ^
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    + n) j5 ~5 p8 o6 V- F效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~9 Y  ]* ?! d8 S9 m- z; h
    你的意思是marginal ...
    ) I/ h1 I1 s% b2 O4 o2 i$ f$ ]
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。5 u2 M  N0 h# [" u
    % |& \6 @6 E% T7 ]( `
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    7 {  Z0 G% a' M; y: J; {经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱; o3 r3 ^  A: D" N9 w& x$ f5 S

    4 h: [+ q0 {( v& T" _经济学又有点像理论物理 ...
    9 w/ E1 F, ^; G6 n' ~' O9 V
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。" T4 y' g( M$ {
    不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    2 j; ]/ V$ O0 X/ c, h& h$ `, s; G就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    6 Q0 n" v' _- p4 n2 ]) F* G0 R' e: \* x7 ]. H3 C+ W
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
    # F$ X" j/ l$ W* E
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
    & y% \/ C1 C5 A) r! \) V因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 5 A0 c% |* l; u  \
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    ( ^7 T7 H6 I& h9 u% [- y
    ! R; J+ z5 `' s
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    ( @1 ^  @0 L4 R, V就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    / m4 g/ {" \4 o* K. ~2 r! S* |- A' v6 l5 }; c+ i1 f; {. S
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
    4 s% }2 M4 i# R; M0 ]7 ]! h( U
    你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
    ) Y! s4 E# D  _9 v5 w9 s: l* i0 g$ a6 w2 H1 l/ b
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory9 }9 q7 B& m- C
      H* Q' P9 b2 @4 u- A5 |
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。8 e2 e% \/ W, Y( {# U; O/ j

    1 |5 @, D6 h1 ~) o' u3 h/ `

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    8 Z$ T/ h+ n, g经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱5 j4 p' V  o( K: z2 p( N

    $ Z' y! B# |# ~; B$ {  b经济学又有点像理论物理 ...
    . H) w8 x8 q6 w9 H
    经济学还能挣钱的。
    . N7 N+ o% o/ n  ]) @
    " C5 N, _7 e( W* `; J& d6 K1 D) I+ f' r9 f  `" @4 W
    理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    # Y' R. j4 B/ y3 v3 Z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。+ z5 a5 f* ]. k3 h6 W; n0 l
    术语上来讲，叫calibration。6 |! ?5 \2 X3 _1 [* c: Y1 P' F
    怎么找呢？基本上就是来match empirical data。1 w. w2 N- J& _4 U
    ' z& C8 U/ h9 A( r
    上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    8 f5 E' t) J) G$ M那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。6 {) N0 w: _0 Y% u( M# h; U
    ——计量的方法。7 b9 n( q, v& x3 S
    / e( r9 o4 Z0 ~, {& K+ [
    计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。- s0 y0 V2 c' {) F5 b+ j
    & Z7 n# ^8 H- r5 D% T: j
    下面我提几个问题，
    0 R( o2 F( j% _/ Y比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
    . s# P. `; s9 m. O5 [$ h2 ^& P- O再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响( R% t; y4 K/ s1 v7 k, k5 J0 Q
    再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？# K2 K! u7 K8 x; R. T! ^
    这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
    % z% ?8 |& B8 m术语上叫做regression。
    0 n" E# U5 b: O' Q# Z! V而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
    & y7 r& w6 O# ]3 U; X
    8 L* _; ~: h( o7 U' t最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
    / l8 C' [! ^' }6 I1 P, Z+ H每个观测到的数据之间是否是独立的。
    + F; d* p' b( \7 |/ @% v) J. c( d比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。7 d8 r4 t! x  Z6 ?0 {
    这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）" W$ v1 Y: ~- s3 ^
    这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
    8 a6 H6 A$ D9 A. |; O6 Q( i: h% t. i7 _6 z6 W0 a" K0 x3 q: @; C
    于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。5 o& W  a1 L2 O6 J* B. j
    这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
    ( B7 m- Q- y" j9 }' W至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
    7 ?! m# ^. j/ b4 J2 P! Q* a( i/ p. K+ f* k2 V
    经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    四处张望 + 2 谢谢分享
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    4 n. ], }! y: `5 m下面就要来说说“量化”了~~7 w2 B; n1 v( U8 n9 \8 _1 @+ }
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    7 k  E- C2 ?$ F% C' F5 x3 F( A
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    + M  s4 i) H6 D9 N. A效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    9 y# l3 i6 b" u0 w* {; a这个我有个模模糊糊想到的问题。' J4 t+ e: O9 Y$ z& C; }; W- s  i

    0 Z( `7 ^0 P2 D比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
    1 w% m" S/ V8 d" |5 P$ M
    . H# E2 n+ i, j6 V这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 ; ]9 w, e$ r4 `2 b( w5 @! B& O
    这个我有个模模糊糊想到的问题。/ f7 {7 {& e( f4 L3 \% |$ x( y
    $ q' j8 z2 p+ y, j
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    : W; {' ~8 a; M+ i. P: y万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
    3 A% X) l' T3 o7 O5 Q& {* |$ ]& H8 U; E; `- F. ~1 {) g6 {
    多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ' m* Y. p* M% S* J/ w' I5 e8 r下面就要来说说“量化”了~~
    . Y9 w1 `* [4 q对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    ( V7 j; Y' R4 L
    Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    ; n  K% [6 w5 M! @' `3 \: D; ^
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 2 R  \1 m! I% |* B; ]# U
    这个我有个模模糊糊想到的问题。2 X( j( q( V9 C3 w# w
    - s% Y- L7 G; V) m
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    ' j4 Z7 P! s. C1 A1 t1 f: Q- L
    3 q* d8 i, [$ F- K/ I9 I4 G
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
    $ ?# w/ b  b6 U2 t1 T: M
    & Q5 A0 V' A% A( t# F$ x) Q1 p. Y2 w+ C金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
    5 n1 z5 `0 C4 C9 p! S3 K) S! n# a3 U) m4 ]; E( B
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。6 W3 O5 p( k" y9 A4 R9 {

    " J" I# ~1 G& I) R! t* `& q, F

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