探讨数学与自然科学的关系

不爱吱声

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    数学（包括逻辑学，几何学等）不能算是科学。
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    数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。数学本身也并不具有描述自然的功能，描述自然是科学的事情，而科学是使用数学作为对世界进行解释描述的工具。这可以算是数学与科学的关系。
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) k7 F: k1 d% g, K; Z7 I6 h: G2 v    我们大家都使用过工具，我们干不同的活要使用不同的工具。比如说，我们希望将钉子定到木头里，那么锤子就是一种很好的工具，如果你使用改锥效果就不好。同样的道理，当数学被用于科学的时候，也存在一个适用性的问题。比如说，大家经常提到欧式几何和非欧式几何。欧式几何的第五公设说：两平行线永不相交；而在非欧几何中，此公设不再为真。那么，到底谁对谁错呢？实际上，他们在数学上来讲都正确。但当我们想在科学中使用两种几何的时候，就分出“是否恰当”了（我还是倾向使用适用性这个词）。在牛顿力学中，我们使用欧式几何描述空间，因为欧式几何在这里更方便；但在广义相对论中，我们就应该使用非欧几何（黎曼几何）来描述时空才更容易一些。在广义相对论中，物理本质是几何，因为这里面重力已经与时空弯曲的曲率直接联系起来了，换句话说，使用黎曼几何的好处是，我们可以让理论更简洁更本质，这是我提到的，科学最终追求的是简洁普适。这里我强调的是，数学是科学的工具，工具本身没有对错，你用错了，那是你不会用。这样看来，使用数学根本不存在信仰问题，不是说你认为鸥氏几何正确才使用，或者你认为非欧几何正确才使用，而是到底哪个管用，哪个顺手.
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, n' {- v& S7 h4 g% B; j) n) [, N    在科技史上就有一个有意思的现象，数学作为科学的工具的建立往往超前于自然科学的发展。比如说，黎曼几何正是早于相对论多年就已经建立起来，然后被附之高阁，大家不知道如何使用，等到相对论才体现出黎曼几何的用处来。这个与真正的生产工具如锤子的产生稍有所不同。但实际上这也体现于数学是工具的特性，就是工具可以是“当前无用”的，但不代表“永远无用”。你现在想钉钉子，改锥没用，但你不妨把改锥放到一边，等你拧螺钉的时候，改锥还是用得上的。这也正是数学家工作的真正意义所在。他丰富了自然科学可使用的工具宝库。
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    此外，数学对于科学来说具有工具的特性还可以表现在：做同样的事情，可以使用完全不同的工具。比如说，你钉钉子使用锤子当然是很管用，但你也不妨使用钳子，虽然钳子并不是设计来“砸”物体的，但钳子的重量大，也可以用来“砸”物体得到锤子的效果。在量子力学的发展中也正体现出这一点来。大家知道，在波尔建立原子量子模型以后，德国一位物理学家海森伯，直接从光谱的频率和强度的经验资料出发，在1925年提出了矩阵量子力学。而另外有一位差不多同时，或者稍晚一点，奥地利的物理学家薛定掷，他改进了德布罗意基于波粒二象性的物质波理论，提出了波动量子力学。矩阵量子力学中使用矩阵数学作为描述量子力学的工具，而波动量子力学中则采用更为大家所熟悉的微分方程作为数学工具。美国的物理学家费曼，他的研究不仅证明了矩阵和波动两种量子力学的数学的等价性，而且又发展出了第三个等价的方法，就路径积分量子力学，从这里我们也可以看到，对一个物理现象的数学描述，他的工具与方法，也并不完全都是唯一的，至少在发展的过程当中，它也可以是多样性的。

    我们提数学理论，更多的是提他是否严密，是否自恰，而很少提他是否真伪。

海天

回复 不爱吱声 的帖子
+ l4 @1 _2 U" K4 K6 q* z
# f! j2 M8 N- [! V$ T' N2 }5 ~啊，想加五分，发现不是自己的地盘。

各个自然科学分支有“自己适用的”数学工具------完全同意，前不久和我爸谈过相似的话题（他本科数学系，研究生信息系统）。
/ N+ m. a& h6 W
: N. j; W; u/ |/ y7 N. ~( S3 c8 t讨论到最后他说他感觉有些学科该“用”的数学还没搞出来，于是就先“借用别人的”，所以现在看起来还不那么可靠和成熟。

张声语

咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。

不过我老板和师公都是应数博士毕业，师公最后成了天体物理学家，老板现在我们贱桥工程系，所以数学对工科的重要性不言而喻。。。

不爱吱声

数学都是17XX年的旧货

17XX的有点太早了.我相信你要非常频繁地用到张量分析,这个是19世纪中叶才有的概念,20世纪初才发展起来的,也就100年.
1 ]4 m- z  C# x7 ?9 T1 N- L
  v5 I) [. K# q不过总的说来,当前的力学使用这些100年前发展起来的数学工具也够用了.想想主要应该包括常,偏微分方程,变分,场论,数理函数,张量分析.由于计算机的发展,现在力学偏数学方面的发展主要在计算算法方面,解决实际工程问题还不需要太"偏门"的数学.

* p0 R4 K6 |1 o( z3 w搞理论物理的用到的数学更"时尚"一些.

张声语

不爱吱声 发表于 2012-3-27 19:35
17XX的有点太早了.我相信你要非常频繁地用到张量分析,这个是19世纪中叶才有的概念,20世纪初才发展起来的, ...

张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太早以前了，对于random vibration和nonlinear vibration就是用统计了，而且现在我们主要是测试加数学模型加编程，数学完全属于基础，工程实际还是和各种实验挂钩更紧密

不爱吱声

张声语 发表于 2012-3-27 05:41
张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太 ...

( M1 H. d! b* f. r- a% }7 n
* t  }; `# g+ X2 T* |3 v连续介质力学主要就是用张量,听起来你可能作离散体震动分析多些,不太做连续体,或者连续体采用离散化模型

张声语

不爱吱声 发表于 2012-3-27 19:45
- a; ^& ^6 L! C( G连续介质力学主要就是用张量,听起来你可能作离散体震动分析多些,不太做连续体,或者连续体采用离散化模型 ...

( |, ?* [  L* q( t是的，现在连续的做得少，主要是变成离散化模型来做。。。前段时间组里有两个人做充气气球方面的，整个气球的充气管道也是全部离散化

PenPen

张声语 发表于 2012-3-27 19:41
: r, {, u" S, ^3 h3 X- y3 r% Z张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太 ...

. x' T3 \$ X& }) _, D9 Q我有的时候会用到一些machine learning的东西，但总是感觉这种基于统计的东西很不靠谱，模型就像是硬凑出来的一样

橡树村

张声语 发表于 2012-3-27 18:58
咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。

7 P. e  R5 N1 E4 s+ p  ^3 H不过我老板和 ...

量子化学领域数学明显不够用的。

gordon

! ?3 o1 L3 B4 }# |- d
3 x) J4 ]4 D% e; W5 F7 _这是因为我们这些讨论者中很少是一门学科的开创者。
9 I( a  v; U2 w2 ~" L
如果你是一个学科的开创者，很多东西就很容易理解了，比如你遇见一个新事物，你怎么对它进行定义。

. _5 `8 s; W, c, z* Y3 x" q0 @7 h它是一个什么样的存在？好，你定义了它是一个什么样的存在了，下面的事就好办了。
# A; a2 V& t4 Z+ Z. a/ y  f7 a
但是所有的问题都要考虑meta （什么什么之后），那什么是存在呢？存在的特性是什么？
- L/ B" y7 }4 }0 c; h& B! A
ok，知道了一点科学哲学，下面开始我们的讨论。
+ x* w( k6 V# U; S$ o5 H, h
- B4 ~' U5 \$ a" u这个事说起来很复杂，必须从科学史开始讲起，近代科学的开端是从批判 “经院哲学” 开始，衍生出经验主义和理性主义，后来到高斯时期又把神学给捡回来了。

近现代数学，数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系。
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0 ]4 y# ~7 W" U; d! a9 F4 i" Z数学的本质是什么，其实就是关系，描述各式各样的关系；但是这个定义不准确，更准确的定义参考 “集合论” 的定义。

丹麦物理学家尼尔斯 波尔的认为，
1 P- m4 v0 ~2 T* |0 f  B
- g' L( j" y0 v6 b5 Z“对于我们的主题来说，重要的在于意识到这一事实，数学符号和数学运算的定义，是以普通语言的简单应用为基础的。
5 n+ U$ I2 R1 h# E, O
; T9 J2 R: E% Z4 v' P因此，数学不应被看作以经验的积累为基础的一个特殊的知识分支，而应该看成是普通语言的一种精确化，它用表示关系的适当工具补充普通的语言，对于这些关系来说，通常的字句表达是不准确的或太纠缠的。”

gordon

& A7 m  [! O7 {- v6 f8 y
/ O, {, Z& o# _$ x, i, n7 {8 A/ h' B老外讲这个玩意讲的非常绕，老外主要就是讲这么几个东东，“存在、 meta（存在的存在）、符号逻辑（语义分析、语法分析）” ，

分析哲学包括两个基本派别：一指逻辑分析，如弗雷格、罗素、维特根斯坦早期、石里克、卡尔纳普所代表的逻辑经验主义或逻辑实证主义；二指语言分析，如摩尔、维特根斯坦晚期、奥斯汀、塞尔所代表的日常语言哲学或语言分析哲学。

; d4 q% g3 Q; s( I: a这个事比较清楚的要问“假如十八”，但是十八说的太倾向于哲学了，和自然科学有点不搭界，天天抱着“维根斯坦”在哪生啃。

这个东西涉及面很广，三言两语也讲不清楚，其实是我自己不确切知道，但是我知道大概就是这么个意思。

gordon

2 p. S( p/ S0 A- F! S- H9 ~
北航的陆士嘉在普朗克的《流体力学概论》写的序里也提到一点，就是解决问题的办法是重视在实际中遇到的矛盾问题，通过实验寻求了解其物理本质，再导出数学方程，用以总结提高所得的物理概念，从而得出定量结果，并对照实验结果找出答案（就是理论计算结果和实验结果进行比对，其实就是科学的三种形态）。

反对在没有了解现象的物理本质以前，单纯搞烦琐的数学推演。

gordon

- |* O4 B5 j8 x( C0 J1 P反正还是老生常谈的这几样，基础课+专业课，基础课包括：统计、科学哲学（语言学和分析哲学）、纯数学。

3 q/ ~8 W9 R9 u5 V% Z统计的应用包括对自然现象数据的收集，和自己做实验的结果的收集。
& [% \) E+ {4 N( J- c
/ A* i* a& y' y0 X& Q( N; V3 e' \9 t文哲理工测（量），或者是科学三形态之类的。

) s) H. S2 m- Q- O- {关于测量多说一点，测量是理科和工科的基础，记住简单的一句话即可，没有测量就没有反馈。
9 k+ ~* |, m2 y! |/ g

其实，乱七八糟讲这么多，差不多已经知道自然科学是怎么诞生的，自然科学从科学哲学和数学中获取依托。

gordon

1 }* F! C  C) M# ?' I5 N. f; V- ~4 H
0 Z/ f9 T! V0 ?$ X$ \4 V数学的主要内容是计算和证明。在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。

$ R0 x: [$ k4 Q* R" j现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，其中的符号是表义的，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。

& u( c5 F/ y; j! G, Q4 g  r数学经历了几个阶段的变化，开始是建立在几何的基础上，后来随着时代的发展建立在代数的基础上，现代数学建立在逻辑的基础上，说白了就是仿照代数建立了一套更一般化的系统。
" V# |- i6 I9 B* y5 H7 s0 y) f
算术的一般化、几何的代数化、代数的符号化、逻辑的符号化，逻辑的代数化（推理也是一种运算），最后演变成逻辑的代数化、符号化；现在回到我们的问题，那自然科学为什么要用到数学，因为数学是一种推理，是一种严密的推理。

就爱抬杠

数学是抽象的，而抽象的能力是进化出来的，教育小孩子的时候，能有比较明显的感觉

gordon

) d' i9 B! e# w* O) k基于数学形成理论(theory) ，包含以下四个步骤：
1 g$ [0 B$ |4 {' p6 U
    (1)特征化研究对象(定义)；

3 o# n# d$ `/ H4 n) q    (2)假设它们之间可能的关系(定理)；

    (3)确定这些关系是否正确(证明)；
- R3 Q& F3 K6 O3 k4 y/ O8 D
3 R- x1 f( x) @5 U8 N    (4)解释结果。

基于实验科学方法。按客观现象的研究过程，包含以下四步：
  c" {! P  `' R" d
    (1)形成假设；
2 ?! p! ~+ n$ f" O( @5 @
( g5 c8 d9 j7 x1 c) p2 ^: E, W    (2)构造模型并做出预言；
- G$ T$ B) p$ q, v( ~
" m4 H0 d( w. {& A) G$ M! W    (3)设计实验并收集数据；

' ~) j0 ^" B* o% h  ?$ {4 D    (4)分析结果。

& u% m+ S* H4 X. w$ I* x: a6 B    科学家们希望，当模型的预言与实验结果不符时，这些步骤应该反复进行。

! m/ B: Y  m. K3 w# L* I1 ]作为一门实验科学，自然科学的预言或者叫做推论，和数学息息相关。说白了，其实也是逻辑，就是我“先验的认为”或者假设，或者叫做“抽象成这样一个模型”，我推论这个模型还适用于其他自然现象，然后用实验验证。

辛常诚

数学确实不是自然科学，记得网上还有人为此批驳过不爱，好笑

辛常诚

张声语 发表于 2012-3-27 18:58
. Y6 k6 x' m' Q7 h咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。
& ~7 v" S4 k4 c7 Z1 Z. V
不过我老板和 ...

这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗

张声语

辛常诚 发表于 2012-3-29 19:25
这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗 ...

: Y  [8 s5 r0 i9 n) i* w1 L统计不算在内，比如振动声学的基本公式推动基本都是用大学那点高等数学就可以，振动里面的Statistic Energy Analysis是近现代针对random vibration开发出来的，也要基于这个高等数学公式推导之上再加概率密度函数这些东西。。。

gordon

- p* i7 U5 w. J2 S+ ?
( ?- R9 o5 C( f) U神学为什么会被引入现代科学研究？这是因为神学在研究“上帝的存在性问题”上有大量的积累，
0 a6 p% z& C# Y. ?; d: k
) e" F& G: G1 i) B2 C5 y4 a所以就把“存在性问题”的研究成果引入了现代科学研究。
) w+ ~: P3 @& l! _, v5 h
不爱说的，“理论更简洁”这个就是神学中的奥卡姆原则，“如无必要，勿增实体”。