TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 * u4 R. Z9 \, C
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最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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% o$ I9 ^! r1 t9 ?9 G. ?众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。- R. K5 F6 P" z- n8 b' v
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电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
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翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：9 I; S+ d# r" j' c
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' E; I+ o" T/ ^6 U# { L. W `不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法$ S9 U0 n+ }/ E: w- r
: y* q- w- `% B4 h' F; Q
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5 B% @9 {, i! B' w. e, e, }, b* X5 _数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。: P1 I# n2 F) n/ L. f5 _' `
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傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？& s4 b7 M" E( s Q3 B U1 [/ }( s
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拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。) \& k& b% K A6 p: t, ~! ~
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指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
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有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
