我理解的拉普拉斯变换

可梦之

7 K) P+ m- e& M+ A
0 y: \+ u7 ^" ]. J* }4 C, e5 `6 a最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
4 x: n( f3 D. V6 Y3 `, H
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
+ z: y: g: B9 s* A8 [- q
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？


( K, n: S5 N  ]' a
7 _% h1 Z) f/ s5 u翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
0 T1 B# k$ E( e7 H1 |0 q: P; j2 X
* k) u3 x5 `+ z/ Y7 T

不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


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数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

( W, {+ D4 q% Y. ]1 S" }

( d, }& O: L1 {7 F9 t; R傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
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4 k# C  c- e' h拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
# S3 z$ U7 K8 F$ a9 P) i


% x" S9 x( W- w) @指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

- z6 O5 Z$ E2 U# f$ e有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
# c4 ^: F8 }# z以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
2 ^) u1 O2 s# i; {6 g又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

* R) b0 g- h' h! A' ^; b对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积