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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    , v! E4 {3 J* p6 n' A& {% x# m: v& K9 I2 W$ C$ x- R; S
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。4 M- ?$ y7 a4 C4 F, N
    5 b3 V, W# c. P" I- K1 l4 O5 n
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。1 B6 N, P: \6 Q3 p9 _" q% R
    0 y9 E2 |% t" X$ G
    电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?5 n1 Q: M* K/ D: Q/ u4 L# V& i. ~1 x
    4 x  @& b& x+ k+ j1 B
      `7 @% j+ y+ J( `
    # f) L% k# y0 e- O. X
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:5 g0 h% a, p; \( S
    + |6 f& k/ X  C) u2 q3 F# t

    % Z# Y4 j6 x8 @/ q
    & ^  _) ]5 O) j8 X不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法- H- c2 T& Y$ f/ R$ E5 N  Q

    ) O  Y5 ^' v) ]8 I5 ]' K6 ]7 o) g. p) o+ M1 z- u+ p
    % T9 k; g) @4 {) [/ v
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。$ _  ~) a1 a) y( p' E9 m6 B8 E+ ^% E6 @
    7 F7 X- K: l6 b. g6 ]. Y

    5 y: g# z% l3 }" ]3 a7 F0 Q4 x, h  w+ E7 \2 C: g0 b* [
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    : A' C; i/ y& b! w  l! z" _+ S) u7 H! |: \
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
      r5 k, w' w" O$ N, ^* r! j% F/ q
    0 X! W' I) d0 B4 \# `% f- L( O

    ( P' p8 L0 M8 [% c4 T9 U! ?指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。# h; v1 L; O  y9 \# Q
    ) l0 V+ B( l7 G$ }$ I+ l: q
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    20 小时前
  • 签到天数: 1651 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    . t4 Q' \/ r* g1 ?以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05/ G  H, I6 v: f% a  v
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    / s% s8 p5 M3 q2 |7 J" i
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    20 小时前
  • 签到天数: 1651 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    ; t! L+ I8 ?6 `" h+ q" U# V* ~& a又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    7 c* e5 V, D; l对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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