我理解的拉普拉斯变换

可梦之

7 }; l& d: j6 E* ~- S% X$ _% j4 {
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
/ t. w1 t3 n+ z! C, \8 y& r( ?
4 r7 i! N2 `" ?+ Q7 t1 t, u众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
  [/ P. A3 B0 w. [6 H! G
! ?6 s3 n. y; Z0 K3 \/ g6 ?

翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& f5 e1 Z% H" d6 o0 X0 r' i# p; i2 l

4 G  B; m" P# G3 @+ H; M
( k1 V+ p! t( D4 ^$ H) v不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

2 V) j  D" x9 g. R* A
/ ]: T" ]! C* Z4 e9 P
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
: M$ y1 n: H$ \- P
' a/ ^7 b% o' K+ D2 {& m

+ ?0 A. C( K" M2 V. G4 j傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

* {0 y' A3 I+ u3 ]! x3 ]

指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

+ c) s( u7 G* \  z! z有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
) L0 E; H+ i, ]高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

7 Z6 z3 H: {7 B对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

- m8 D/ N& H! \+ [' n5 }2 M6 N对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积