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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ' s5 r' `2 \. z: z

    2 p5 k% Q6 {1 ^7 v6 L. `% w最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。: z! y- T1 r( b8 a
    3 c/ G% w  }  [5 ?
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。7 s' k& v: q) t0 u6 f% U
    . B' F8 c1 Y* P6 K* I# F7 V' M
    电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
    2 b. H* }" z2 U! \6 ^
    ( v4 L3 Z  W; h. A3 t$ m( I$ ~) P8 a4 e/ {/ F- I
    0 \3 s, u1 F1 _) `' N2 U1 t9 M
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
    2 p5 b4 @* d3 e
    4 }9 t" A$ Y+ ^( z( N. d1 ]# U( o

    ; V8 P0 L, K( n% m3 N5 V* d  \( w不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法/ Z4 t# K- L, ^* `

    0 |' c% V0 }" C& {$ J; B8 r
    * R+ ]  A! E' u4 d  `1 _/ k; m! ^$ E. e
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    - ~+ _4 I; u3 d3 ?$ j
    0 R* j. x: m4 |& c; K& @& e; n; R
    $ a6 T) v* A3 H$ H9 S
    . e5 w* I: l# n$ J" H! U傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    , ]3 C) U9 X8 }, `
    9 w( n4 G& z% L. K( o拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。9 i, A8 E$ d/ u6 `9 O1 e% r

    5 H% e' o" w- R, m+ ?$ n- `) u3 _- W7 A+ a8 F- _' H* Q4 B
    6 d- q* ]) K2 }2 ]  L
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
    2 @/ g% V' q% H
    ) j' E9 l# C& l0 Z$ _' ?  a# P$ x有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情

    11 小时前
  • 签到天数: 1852 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来/ e. @# |' w1 [2 g8 o8 l/ F& Q
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:051 h0 R4 Q( g# y3 ]( z& C, J
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    # M& Z/ u5 Q, o对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情

    11 小时前
  • 签到天数: 1852 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:403 v+ w+ k3 ^3 `! P! U4 I, q) ~5 z
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    ! d  O, s( t6 S0 {7 J5 E+ g对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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