我理解的拉普拉斯变换

可梦之

5 D% E( I+ b: P最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
. J" u/ m' W7 o0 }! t, y' [
9 D# N1 S4 p5 ~! t, Y- [, ]众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

' r  @' [) r7 _' O电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
& O% l4 f2 a" O- |* {
8 x9 e3 a/ E9 I/ b2 P/ c
' m; ~. x- v7 j: Q" W
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：


' o  e0 a+ I, |6 j$ \- ^
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
% y0 D2 p8 m( U4 Z! P  V0 a1 o4 T


数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
0 z' R7 [0 H+ J3 L9 J
# Q: a0 Z% Q) u' E; G
6 x% M' R$ d/ G! j) M" i# Q
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
: s- V1 A, b8 w, Y/ K6 K$ B  o( l- i
( y$ f, I, _0 V  Q* X1 a
2 J; F. D. b) d' M& I. t
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
# I; q* t' S7 _2 C
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
& e" m2 G. j1 [, I4 u以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

1 S) O' `, z- e6 R' P4 Q' k对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积