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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    ) r  O+ d" p0 @0 G6 F& w6 ?2 n1 g8 k8 O  I
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。- h5 c' `1 {* K' j3 r' i
    ! m4 h. q3 x9 D! v( r- F6 E& E5 o& i
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
    2 e% ^2 u6 Q% H1 T1 \5 ~; U) J8 r5 T9 L$ Q' @! ]& x% T' T
    电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?; P% K- H) M+ y4 d( k9 F

    2 R/ [9 m" F6 A7 z/ j; E+ l4 Z5 C( B. b0 X+ b9 _
    ( s2 M* c0 w5 L' u
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:, @# J, K; L9 ]& _6 u3 L  U
    , @2 y& L$ u  s9 ?7 g1 K

    0 P4 x, V- X: \2 _3 c1 S+ V6 h& e/ ~5 r2 J" F9 X- f4 \1 T
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
    ; m9 L4 b: J5 k- E% ^
    5 I9 C& J9 B9 h8 M0 e/ x9 |) u$ z: x! d0 ^0 J9 _# o2 j: W9 P0 [
    3 W9 l6 X  ]( w8 ]% N! [2 `
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    % Y, ~) q# h$ H$ M, a2 j7 b. Y
    $ v# A2 R" [2 V, c$ L0 E) W, ?
    8 P5 u* p5 D% d& b7 `6 [! k
    7 f, U  T4 q2 D. B' C傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?$ [2 v- X! p/ b: D  n
    " ~. ?+ ]9 v% _1 Q6 ?( c0 w
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
    6 s) B- m' c5 y! G3 E) M/ W! R& B/ F7 N0 u  r3 K
    2 E0 a$ J' Y, J7 }8 X6 O8 _. h! B
    % A* I  |' h, \" ]
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。/ `# ^+ a2 ?. \" i) i. L$ A+ A( G9 ?
    ; m- l' p7 k: c) l% z% R" q
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    2025-10-27 04:12
  • 签到天数: 1953 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来$ P- `1 s! L' S( U( V
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05' |% y8 J% c- k' t" r8 I
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    , f1 v3 H4 Q8 E) j
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    2025-10-27 04:12
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    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    3 o: i7 j! i( L4 p# z/ D4 X又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    - e/ n) Y! D  L" J" e1 I6 Q对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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