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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    7 S" e+ k5 q+ O- W3 i: ]6 d$ I* h7 t; r- x1 j' n
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。# f. t& n8 Y. Z2 O* M

    : [7 v4 A6 t" L4 l众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。; n# ^: X: j. J* y9 ?1 q% R, s  H

    - N# k- U0 i+ |! F' _# p& Y" H' Z1 i电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
    ' ]# Q( l7 `2 _+ B7 T9 c& Z, R3 E3 P8 w# g9 d) I
    2 f' L/ k. o  H0 i0 c  {6 x# P0 Y
    : L+ B2 O4 I" |; A( c3 C8 l
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:. d4 k! g, i! a. I; ?' q

    3 V! J5 A; i; U3 N2 V: m
    4 l+ C/ E2 w  W- z  m* ]6 {  C, v9 V
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法, V5 O. C% x$ v* _, \2 @5 K' n) k* ]
      t: O0 X( Y( b! o& J- x$ U) l
    + l& V& `1 q# v. ?. V2 r) y" P2 R

    0 ~+ A, C5 E& }6 _- y数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    ; o2 q$ j2 f2 C" K3 ?% }7 `2 \3 `. r# F! ]- f" j

    % L! ~  t9 C: r1 [9 W
    " ?, @; ~5 Q* x傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    5 c: P& X3 {; u( z' l+ |# G
    3 Z+ h! t4 j* n! q6 @4 Z3 Z, w, W拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。- _" I0 s! |1 M4 ^$ ~2 x7 U
    2 E: O+ Z( G9 Y8 ]! X/ P1 L. H

    : c4 B2 p8 K& T$ j- y
    - [. R: @' J& u6 D指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。% u( M5 V) _2 f, ]
    ' ]7 l, k0 y% m1 Q6 e% ]: Y* j& F
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情

    2025-7-28 23:17
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    ; u( P- V+ f5 k+ E' S以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    , ]: [/ V" j" }' e高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    * y- l$ C; c1 T& X4 y& p! S! ~对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情

    2025-7-28 23:17
  • 签到天数: 1935 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:408 D2 d3 @7 _2 o: h+ x5 P' k
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    7 g/ f4 A  a" H% }- \对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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