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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 $ K$ V* q/ P; Z% S2 H( r$ i# f4 D

    # l/ f, r9 u  m* V' \6 x/ t最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。+ _$ ^( ]* k! O7 g
    9 F$ i5 J: M% d% R8 Z; _
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。7 Y: s$ y# `" B6 n5 M* R

    - C' x! g* q7 Q7 I电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
    4 D4 e2 o8 A0 h& Y
    . a; J; ^, P7 ?- \7 e* @0 h. j6 C7 K9 u6 K

    6 o  D) A, R$ o& y& Z' l8 ]翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:; {* Q( X( g( w
    9 t% b/ r  j9 B$ J
    . H7 n5 i% v6 h7 o# K2 z4 G
    0 b, k' Q* G7 P# {2 E$ [. k
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
    * n$ v6 B  m; D" P2 U. M8 y" G) x* }2 V1 x) _4 _* W

    $ K; V" v/ Q! E2 ?
    / {' r. O( z: Y( Y, A9 c  p数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。) b" M: y) Q) s

    ' F* s) V3 E" n' a+ @4 a, z! g8 {# E4 h7 ?, J
    % Z. ^4 _; S( ], v" W" N2 l
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?% U' X0 m, L" h* g

    4 p+ A: H2 [# L拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。( c6 ]0 d" l  w% P( E: h
    : C& ~6 z# S7 c& L
    7 e7 {$ b& D% a2 P

    , ~# M7 s7 ?# G) O% E+ X# V5 R* G指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。; E  N8 C# m4 V( D

    % A( j1 f! u& V3 M) Q, ]7 k4 Y有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    15 小时前
  • 签到天数: 1872 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来& Y- w( G/ F$ N0 K& J
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05- e0 r/ u) K, x3 K
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    9 b1 u0 z( P1 T7 K; m' F* u, Q
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    15 小时前
  • 签到天数: 1872 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    7 C8 Y" [% J, @; \7 g: B又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    4 ]# W- O. P$ u1 r; V
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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