我理解的拉普拉斯变换

可梦之

$ p/ t/ B: }9 d2 V
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
2 v+ `9 z; X! I% l2 k5 t8 C
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
! k1 o/ Z( I! w, n3 l/ a
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？


7 r1 Z+ f0 u- y5 s
# N5 i/ @0 [& Q. P* s翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

% J/ Z1 \0 |) T8 [. p+ X; b, q

- t2 p1 A5 J5 N$ s; ?3 [) `不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
0 t2 S. K3 C* u& _


: [7 y3 `' o! G. U: @& v4 y( R数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
. K) a, [/ u' i2 [/ S# s# d4 J

2 \6 {, W+ S- X% C7 M! _! m0 b/ s
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

# a9 x; V, P% o3 R, B& J拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

8 n6 o; m; ?4 ]3 d4 P, ?+ r

5 h: d- H7 T' h' y5 n, T) Y3 U: i4 U指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
/ [- u7 b" Z+ B! v) T% B9 _- A
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
7 S  C% e. h: J0 W( C- y以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
' S( q) d6 v2 Q3 v7 ~  U又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

8 k) N6 J5 f% p! |# h& i9 m) s# G对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积