TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
+ l" W- G8 Z2 j* [0 G# m$ h! _7 X5 F
, w4 @( Z9 x6 w! c最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
! u7 I: {* b5 w, A
8 t' u5 r$ C0 e" `! ^众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。1 ^9 _) ~6 Y9 Q1 t& ^& z! a
) Q: L3 I: c* R, ?0 v电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
0 F, F" |+ `4 z6 h0 H- F: C1 @" r: U7 V$ c( Z
![]() ) i/ i9 B, I0 Y% Y( s( N
- e; J# Y% q. ]+ k4 ], h7 K翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
. A$ O S( |" l% Q `9 H |1 u a6 P) V. h2 u
![]() ' \, c4 V6 Y2 V( O& s% t' w- F
. X# p0 y) B/ I' x1 R
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
P& H3 l8 K- l
# `& y# T) V7 i& N![]()
$ G* k- {/ Y% l# ]% n4 a
8 e7 n6 ], P, W* M& [* I3 R* D数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
% D/ Y& l* A2 }8 x8 H, S& f- i& a2 v* D& t
![]() 0 v+ i* Y4 s5 ^) z# A' d- z
3 f% ~/ L0 c* Y0 }) A0 N& H傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？# o ]$ f# U( J' a3 V; T
! p% B6 L! w. B7 |& }# I. X- r/ T
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。3 g6 B; o! q0 ?/ b0 @
$ a6 j0 v7 ^3 i8 `7 N T: I
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4 Y# W, `0 m8 p; a6 {1 t. N0 W. I* V+ j: }; `
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。7 S" N' R: }3 t& o3 e$ ?# \ v
% q. f1 E* h% D9 o) q ]
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
