TA的每日心情 | 奋斗 2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
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最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。# f. t& n8 Y. Z2 O* M
: [7 v4 A6 t" L4 l众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。; n# ^: X: j. J* y9 ?1 q% R, s H
- N# k- U0 i+ |! F' _# p& Y" H' Z1 i电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
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翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:. d4 k! g, i! a. I; ?' q
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不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法, V5 O. C% x$ v* _, \2 @5 K' n) k* ]
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0 ~+ A, C5 E& }6 _- y数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
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" ?, @; ~5 Q* x傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
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3 Z+ h! t4 j* n! q6 @4 Z3 Z, w, W拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。- _" I0 s! |1 M4 ^$ ~2 x7 U
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- [. R: @' J& u6 D指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。% u( M5 V) _2 f, ]
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有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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