我理解的拉普拉斯变换

可梦之

+ I2 L! Z( q; ?最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
6 E8 {$ M5 q2 s# V3 ?  j
& i- `5 J+ K$ M众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

. I. I3 i9 I+ S电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
" D4 r/ ~% B# ]; y. t6 H* G$ h

/ a6 \! i7 j5 v* F
. T: O: j1 ]/ s' a2 `翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
* O/ k  g! q) ?
3 U, p. i( M$ r4 D9 Q
: V* e: P3 _9 H+ W2 v3 ~- o5 y2 W
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法



+ O4 [+ i# Z; H% n  ^4 i数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。



5 d/ i: v: h2 F4 q! g9 p傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

0 J" X/ A8 g" u$ T# G% l. X8 E' ^拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
, u2 s  o5 H; \5 _% z9 V
- q, i, a2 e2 R
2 L; p* q" q' v2 W4 z
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
2 U' l/ v1 r, u2 j& f$ ]
9 _. j% c: Q+ J4 d3 i有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
# d7 u5 S& _1 [+ C4 L' s5 w0 _9 y7 T+ K高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积