我理解的拉普拉斯变换

可梦之

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( L0 L/ }6 J) X9 h) v, S" O" Z8 j$ y最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

. h3 O$ _, x4 O- V电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
; `* U+ q  K# o$ n1 H7 }
' ]7 E8 z/ P6 q, B$ G' v1 f

翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& K7 U* v$ |! \6 F. p
, h1 P6 q! R2 l3 h1 ?
! B+ C+ m0 W& Y! U+ W
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

; s3 ]9 D* E; g! }2 ~' A
5 q, l2 R1 \) U2 G  e1 S3 I+ z9 R
6 X) |) K9 r& a; P9 B9 b7 Y数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


" a  C+ I% i1 y
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
/ V, V) ~# X$ M# d5 h7 q! m/ `/ g" Y' }
& ~2 p9 k9 O* E& }1 i7 M: k" h+ F

指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

; r/ K" a! ^6 ~+ s/ K1 I& u有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
/ ^/ S, K4 P" H; d- R5 z. O2 h% d, ~又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

' {' i' J' I4 T5 R对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积