设为首页收藏本站
开启辅助访问 切换到宽版

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
爱吱声»广场 › 研究生院 › 科教学圃 › 我理解的拉普拉斯变换
返回列表 发新帖
查看: 2638|回复: 5
打印 上一主题 下一主题

[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

[复制链接]
可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
    跳转到指定楼层
    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    2 I8 O2 @1 B/ `& {4 J4 Q& O1 v. D5 f5 [
    最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
    : D7 J, }, B9 ~( Q* r4 u
    ) n" I3 v# w2 K/ N. i. f众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。  d9 q  p, [3 ]. S
    8 Q# ?, B  p2 z/ ?+ }8 K
    电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
    / j$ H1 H; `5 r" G' V9 R0 a2 i: H
    $ K1 G: Y  S0 _2 V6 d
    : C* s3 b1 `! t' L* f+ t/ H( O( L. E: M- K% H
    翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：8 Z& ^8 W. Z( v# @3 i0 m

    3 Q0 F0 T" F( @, z: Y( c4 u
    8 \: |. G2 M( R2 M& V/ n% ?/ [: E1 n( y! f; r+ J4 G
    不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
    $ o& B% e' E+ V1 L0 ?
    # V9 o% j# l" m0 e& |/ ?# J1 I+ t0 `$ C9 Q( M" b6 s3 ~$ u1 J6 m
    ( B) a% `* a; P; R& A9 I- ^' U
    数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。! J- E$ l% S( o: y. E# ]
    # X' `  [5 }) W

    1 j! M* \+ t! y" R6 v2 [; ~/ G* t4 t! _) d/ L
    傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
    : f3 V( E# B/ R' o8 r" A1 D+ P7 d( _: }: N. T) F0 U" ^2 N
    拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。0 p% K0 Y- M4 N- u1 g- C& _
    , o+ X5 d( @3 A7 W+ ~6 ?9 H$ S

    + q# W' v: B) p3 K: T, J+ A6 e1 X% p% y: d: o0 `% K
    指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
      c9 b+ S" b! k0 x1 E
    # K1 t6 Q8 {& i. R, m1 ~有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

    评分

    参与人数 13爱元 +102 学识 +2 收起 理由
    mezhan + 10
    喜欢 + 8
    老票 + 18 + 2 精彩
    testjhy + 10 谢谢！有你，爱坛更精彩
    helloworld + 6 涨姿势

    查看全部评分

    回复

    使用道具 举报

    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    17 小时前

    • 签到天数: 1928 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    colin1992
  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23

    • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍
    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来- Q2 s" j: S" _, W4 O# k9 @: u, W
    以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05( _2 P" L( K' x7 K  ]- E0 w3 b, t0 }
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

    . o( b6 \6 c# J  S5 q" V: v- j对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    17 小时前

    • 签到天数: 1928 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

    评分

    参与人数 2爱元 +16 学识 +2 收起 理由
    helloworld + 6
    老票 + 10 + 2 涨姿势

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    . F, x5 H4 |- ?又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    : c) }8 i5 T+ \7 X5 W
    对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    helloworld + 6

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    返回列表 发新帖

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2025-7-6 18:50 , Processed in 0.041620 second(s), 18 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表