我理解的拉普拉斯变换

可梦之

最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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- B. q# m6 G4 [众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
: I& K6 Z6 T; T4 g2 ]% s9 u  Q& v* E
/ J# z6 i9 a5 G" `) S电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

& b/ A- f2 A: T  }( T# d% m( a2 R
* g# G* g, w# I' u9 t8 o3 u3 O8 e
& e" t3 r6 ?8 E, k' o7 g, @) Q翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
- _! i$ x: P3 ?5 Q3 I: N1 v
3 R8 q; F3 h" p* e( u+ X( g
1 g" K) W4 X" q6 b  W$ X/ ~
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
: a4 v/ b, Z2 k- s
; _; K& v$ ^3 u4 @3 T5 m

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
& L9 `" `9 x* |+ m
1 R* S2 F* F5 F7 S
0 Z: ]) O& K: e9 q9 T0 A1 E4 C
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
) b' T% X) [2 n; s6 z
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
7 z. a. b4 h' i4 v
# y4 ~, S1 T6 x' \+ {
4 a+ j0 L8 b4 }1 Z
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
! T& |$ s3 @# C2 S6 j
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
  F8 q* r5 e# I  O, K以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积