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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    # G+ W! ^. W) v, x, s, N; |) f+ t% l5 ~. f  i) w2 w$ Q) ~7 N
    最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。: ?/ d: o' S$ b8 \. K/ `7 |
    # B; B) O+ A8 r3 C' ?& ?7 {
    众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。8 \, I3 S0 U, x- \

    ; e. x! a9 c  P电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？  ^7 F" L2 B/ W2 S- D; z8 w/ O
    7 [! ?. M) q+ k+ F
    , Q' U2 v) J- j
    , L; [' ^  {2 \+ f: }  A; e9 u
    翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
    0 |' [; H- k3 g2 |( z; i% @& z) {  ^8 }* B; T+ Z8 }# y6 |
    " f* u& D+ g/ A4 f9 J1 Z8 p7 o9 M

    % v3 u3 Q3 E. o不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法: o* S2 w0 A$ ^  C9 i
    3 u1 H1 Y+ k# m

    2 A4 W/ v7 _1 f( ~2 \( I
    ( |! N# K! J+ X5 Y! d' E9 v数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。  w/ D' x# |& ~! ~" y
    . |* \7 H& J! `9 J: t
    3 \- `9 Y7 A, h: m5 l0 |( Q
    6 p6 p" I) D* l- L7 f0 V
    傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？& j( }1 H+ m' E7 D5 I0 n/ y; V
    ! Q- q! F7 C) G+ P4 _+ Z
    拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。& X- b2 w% c8 `; ~& t

    ( u5 Z, d9 \+ Z! E/ y
    * o1 M: @  R' U% g8 y) |9 i9 U! u: ]5 k; y( {) I+ t
    指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
    ; ^& ]$ d4 I* m! s- l0 P: W" x2 [3 `
    有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    昨天 01:26

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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
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    colin1992
  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23

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    [LV.6]出窍
    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来+ z1 L- A6 x( O4 t- y$ Q
    以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
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    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

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    [LV.8]合体
    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    + b2 N* o% e2 ?* {! v高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
    1 F3 A& o; Z# {- A
    对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
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    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    昨天 01:26

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    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

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    [LV.8]合体
    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40/ }0 m9 g* e' g& M; F
    又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    0 |9 v" ^2 |; g5 x对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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