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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : E) t: t" U; H  q* h* N

    ; I4 m4 e, F3 r最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
    # H7 }' l( s; [1 G2 F* M+ c
    " u+ A  f8 s2 a% l众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
    ! u9 {* D# A7 D$ f: q
    - b8 O: o: W/ i; b) H电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？' N1 S* ?: J& e! ?1 ^% J7 P

    ( Z5 g( u" K: e" h  C3 i" K& _% l/ x; z' J9 b. o; z

    ) B8 Y- ]8 h# S* q翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：' J" E" y  v; H- f- O
    9 q) Z5 ]8 t/ e3 X7 _8 o
    ) v8 Q* A5 _: ]

    # c2 K5 o5 q# U- _不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法3 q& S$ |0 _5 ~& r- l4 z+ A

    , g3 l; a! C0 x- B5 a4 `1 k7 `9 ?; y

    4 S! Q* m$ w9 Q2 g" ?! O+ u1 r5 \数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
    & }( B6 c# d2 i0 P( X+ g0 r8 ]+ y) f" x; o+ @
    ' S& q  v& u: u5 G
    2 I0 S' z/ t7 c4 o0 X3 `4 O
    傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
    9 h2 X  H. g5 N) ?- j, h6 F4 D( {8 |& v& `4 g6 o" b
    拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
    : n9 {8 ~) B7 C* L. M3 B" d9 R! Q3 S/ M& `4 S/ t

    * o# R" C6 y% b4 @2 `
    % C" L/ j7 f8 ^9 q指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。! A& j- U$ C9 y
    , W! U) ]4 Y# H6 z# }
    有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    12 小时前

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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
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    colin1992
  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23

    • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍
    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    7 o* j8 _5 q' H0 j3 B0 H以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
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    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05) z) ^1 I. {. g, u
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

    7 P3 F2 o2 ?8 Z/ a% F# j& C对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
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    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    12 小时前

    • 签到天数: 1894 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40- p7 x! ~7 s" J) {% C' ]5 a8 L7 Y- S
    又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    8 ~& n  ~. C/ W: [7 R) m对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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