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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 % ^9 b: z% Q+ a8 y
    + W. ^2 P; f8 Z% v- l
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
    . [. x$ S  _1 p; \) |9 M/ Z- \4 d+ |# N" H  j) Z
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。9 A5 H* r! g8 N

    - Q% ^% A! Q9 g! q1 z, E电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?+ l) m' m. i) y; y. U
    % x3 F# R3 _; c1 e+ r

      K3 D% U  s5 ]9 L. B
    % R& G$ ?. _4 _1 a7 p7 G翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
    % i. D3 y$ ]+ @9 o  V( m6 D; p7 o" Z2 X3 S3 y4 Q) k
    * E7 V4 Q- X3 t$ f- J; B; \

    9 q! M% }2 q+ x' V" b! j! {* {不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法- ?6 x6 \9 [! M/ U: f

    / V7 N' d8 I' G% N  ?# R1 g0 }; J% K' g. _+ M1 P3 F3 E9 d

    4 A+ B! Q! H% P6 `, S- J7 \0 i- e数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。. d- d2 V9 {. p( L; ^0 F& x

    9 A$ D- b& o' n: @* u' Y* A. @! _1 V: _( j( X9 S2 c* i5 p0 F  ?

    7 |3 r" [/ y+ j7 Z2 B傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?1 H& Z  v  t& n6 ~1 k; [2 c0 e" \
    ) x2 j: \/ K8 w6 d& s' j
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
    ; O6 _9 _% d- y9 D2 T& M# V: |# l) |/ k
    % \- @6 q6 H7 {5 c5 ?  T9 l0 B" @+ q
    . l' I- K2 H& I# M7 w7 O( j  j
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
    . K2 N3 Q/ E! c
    9 d, H6 r/ ?* X# d, o. V/ S, N有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    半小时前
  • 签到天数: 1873 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来$ E5 t) Q6 r- u6 s2 M
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    8 m5 s0 ^% X" n9 x9 U( w7 a高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    . p) g2 D6 r4 d1 K6 Z6 B% j  y
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    半小时前
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    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40) f" _8 |7 b) h6 F
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    ) e2 F+ B2 z$ V0 N
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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