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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
      g4 n% Q6 J, q2 H6 U* y! d0 ?. J8 p  ]9 U8 W9 v
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。- ?7 G) u6 }8 X0 M: O1 ]* [6 r! S

    ' @, g& w) Y* h1 l$ c众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。6 E' {# ~( G( {

    - X* u. V* w/ ^  Z3 i- ?9 P电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?. g+ ], [: y3 h6 s( j, L, v

    2 z4 H1 v6 {* L* Y8 H- i
    4 Q" c6 P0 _  l9 e5 X5 l9 D, K9 g, u8 n5 w. E  o1 U3 o
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:5 w# [6 J; e5 J! q' ~) X

    ; K4 x( e1 _9 a$ F$ T8 Q& X/ p. C' h# a* i1 V6 b7 C9 D7 c
    : U1 e0 ^+ ^& J- K
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法: X! l6 h' }8 ^0 a

    # E6 V. }, j& ]; B) B
    0 ^6 B! n4 |1 K) @: v4 u" J1 r6 c8 p
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    ! N/ r7 k% m% D- d2 i9 D, E# L( n/ x9 |2 E0 @) M" T
    ( f& k/ i" l4 v7 C8 c: U& N

    " q6 _% ?8 N8 ?$ ^9 A傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    ) P" n$ X: H; J# |; T) k; [2 p! w' m( P* C, E* b1 X
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
    9 ^: ^5 k- ^9 c+ d1 t( V. w5 }7 e3 K

    # N8 _# b# o# @! l' i' C% O2 n, n7 \8 X5 }: i7 v
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。' i  b1 v$ h  j& t! H' N, o

    & F, W# C, `4 a+ _  e" h/ O有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情

    12 小时前
  • 签到天数: 1852 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来+ A& |8 i9 h) T+ v! n% A
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    & x( x/ m  B" q高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    : f) F. D. l+ Q( n5 Z& L. D
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情

    12 小时前
  • 签到天数: 1852 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
      ?: I& u+ L8 f7 x8 P8 X0 N又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    + K) n4 e$ Z. Y
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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