TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
|---|
签到天数: 300 天 [LV.8]合体
|
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : m- l! A1 Q( ?2 O8 O2 L
, C- t. p3 S4 B- k& z8 J2 c9 k
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
6 ~; I# G. _; s. }. A0 q1 v
) \, O) I) H7 f& t1 X众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
) P z# N1 _9 |) T+ F9 D+ {9 E" J
8 b2 g1 Y2 X2 y* r, q; ~' ?, l& F, y电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？6 \, M) J$ X3 Z! }/ x
# x; o Y: p4 X' R5 k0 I* C2 g; E![]() 3 h4 P7 q/ }6 A6 d
; q8 C2 R! d6 n( z7 F3 e' v
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：$ t. P5 X; J* K1 G5 Z- X8 O
4 M8 O! U# o6 C- i) ?![]() , b- v( @% N R; B% ]5 y
# Q! q! s8 y _( H1 u( T' O不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法 Q6 P: h- H" O# m. y Y2 o, ~
' k; h. t9 V7 `# R0 O4 P( T
![]() / [$ x$ ]4 n, C! G. }; u) a) {
+ `. J, v* \) V; G
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
" D6 k4 R, G0 m1 F6 E* \6 Y& I, q( T5 G/ z+ v5 `! b& P/ {
![]() * \# X; u1 V, f2 ^# u) q
1 H4 B7 Q/ Q( H! |3 _$ A1 U7 Y
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
) D5 Q2 {9 | ?' y# Q+ f3 X( ]5 E$ s# F" i' c' D6 g
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
?% o9 H9 M b, r$ k1 q4 L% N
2 O' ~, _+ w0 K& T; y j2 I![]() 3 u+ w+ n$ \3 Y) x8 L+ D. H7 t- D' c
5 n, d; C0 W4 R5 V! {6 P6 f) H
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
5 P: A, @' g2 [$ F: i/ I7 M8 L! T$ \
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
评分
-
查看全部评分
|
雷达卡
楼主
收藏
分享
淘帖
支持
反对
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
抢沙发
千斤顶
显身卡
发表于 2023-9-27 12:05:26
