TA的每日心情 | 奋斗 2021-4-20 05:43 |
---|
签到天数: 300 天 [LV.8]合体
|
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
* C3 f& @* E( g5 B& P' x2 ~
2 G( x6 G1 ?4 U @4 h$ E最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
: l- ^# e6 E$ a' S& J0 P8 B9 u g8 ]: v7 P/ ^/ j, C" u
众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
- j( m4 h) r% t1 q$ s
& |/ s; o* |1 t+ w( j1 [电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?0 K- O* s/ ~& E) M8 t# {: q* Y
: w+ {0 b% K3 a6 C# X
![]()
) u! B& _- {0 a. E0 `, q# F! o6 u2 N( L0 [; [1 b
翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:2 Z" ]$ ]8 _3 {, ]5 e' a
: A9 T4 u0 p/ x7 m : a U8 B& R; D9 r" D3 ~, h
4 h6 q# s) p; l- V不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法$ [6 z, R$ m7 E5 I, c. S0 R7 h
7 T8 {% H' b7 o
; V6 g: n( L3 { m* y8 p
2 ^* p4 J' |, }+ A: {
数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
' Q* \( r+ @) Z3 } q) S% U9 V
S( w; I. l6 M( `/ o " E1 u: N5 V4 b6 N8 d
6 ]) [0 v W$ q( p$ z5 i
傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢? c. J2 F! Q) I3 C
& l( h6 p h: E+ Q
拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。1 }8 g, k% L9 F
3 {. X' y4 m7 n7 O2 B6 L3 k9 ] $ q# H3 Q( p7 e, t3 u; m7 D3 f
/ d9 }) B! k: i5 R" P+ u& N8 V3 m1 x
指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。) T/ s1 `3 b, x0 O) r6 p
5 S3 ?0 k; ^$ Z! @, e) k6 I. B8 o1 d
有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
评分
-
查看全部评分
|