我理解的拉普拉斯变换

可梦之

" o' |3 K* O# Q8 p  K0 ]8 Q+ Z  E
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

. N/ P$ ~+ |0 H3 M( r. `众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

5 v% ?/ k+ q2 b. j, f- m电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

7 [( I" T! l" u7 G0 k

翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：



% ?9 O4 c( ]8 Z不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


4 j8 ?  u, {1 g2 H( L, V: T
! h* {5 `' Q. S+ t" l# Y数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
/ N# G& X, v7 w8 w! D" h3 A* W


) J, c* x7 p7 t1 N0 p* b傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

8 r- Q' W( ?: x* d拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。


- f2 W: Q% A. f+ Y  c. n6 t9 X
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
) q+ ?- ^* x. P$ p; ^, h3 M以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
% G% P, f. E+ d7 M& F. k' U& y$ Z) x高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

. O% e7 ]: E, V( z$ W6 x! ~! O( J对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
- N  u# W, b0 q1 T% @+ v! D2 }7 ?( d5 H# ~又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

& @. F6 i8 c# u/ ^6 W) A对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积