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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 2 Y. w# x* T2 X" H' g' _
    $ R4 f& l8 h+ s% W
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。) |$ h+ r" h4 ~! w' @7 J) _8 Z' j+ f

    ; F3 C8 X4 N4 U- U7 P: B/ l) D, B众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
    , j: c$ G8 S/ U  I# R
    + b+ r& k4 U& \电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?0 |( x  @' L$ c% @& X; s

    3 O  q; h' L! q9 U3 N+ x, Z1 f5 s. C% _0 ^/ N0 v. n/ q# ?

    8 V. A7 l) [+ r! A) ]6 y翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:& P8 j  m- @% R" [
    " D1 U. k# ]2 K. H4 m( [# U

    ; y" S& g2 b# x; [
    7 |8 j7 Y5 `. _+ j7 f不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法3 }) N5 l! M) O  Z+ Y
    ' p' ~- I8 c. \; `, T
    : G  R' K7 o2 {: g0 i
    : J2 L# A8 N: e' d6 |
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    + j4 N) p$ J% _3 z& F) h7 h5 I) R6 X6 U& Z
    1 d( f! \- I- v! N% {; A' M* o
    & F6 H. ]+ s2 D4 z
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?# G: b/ p' b2 a

    & N6 e. v- I6 a0 |% j8 H拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。# z( J: {/ ^  P: H, ]1 _) J
    # t" @+ R9 B; m  ]0 D# n
    # u8 b+ x6 @/ B$ C  h& t* i

    7 E# I1 b" |3 z4 t9 w指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。! v1 Q. v3 B8 x2 V/ T
      H; `) _6 p) d
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    10 小时前
  • 签到天数: 1853 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    1 m  T" i. t8 K; m/ S" o以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05+ Y! a  ]- g( \+ R1 Y
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    - T7 ]5 E; B7 G1 V( e. d对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    10 小时前
  • 签到天数: 1853 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    9 x  b) G( Z( [& [又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

      J3 ^& n3 H6 J- F对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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