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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    * C3 f& @* E( g5 B& P' x2 ~
    2 G( x6 G1 ?4 U  @4 h$ E最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
    : l- ^# e6 E$ a' S& J0 P8 B9 u  g8 ]: v7 P/ ^/ j, C" u
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
    - j( m4 h) r% t1 q$ s
    & |/ s; o* |1 t+ w( j1 [电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?0 K- O* s/ ~& E) M8 t# {: q* Y
    : w+ {0 b% K3 a6 C# X

    ) u! B& _- {0 a. E0 `, q# F! o6 u2 N( L0 [; [1 b
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:2 Z" ]$ ]8 _3 {, ]5 e' a

    : A9 T4 u0 p/ x7 m: a  U8 B& R; D9 r" D3 ~, h

    4 h6 q# s) p; l- V不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法$ [6 z, R$ m7 E5 I, c. S0 R7 h
    7 T8 {% H' b7 o
    ; V6 g: n( L3 {  m* y8 p
    2 ^* p4 J' |, }+ A: {
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    ' Q* \( r+ @) Z3 }  q) S% U9 V
      S( w; I. l6 M( `/ o" E1 u: N5 V4 b6 N8 d
    6 ]) [0 v  W$ q( p$ z5 i
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?  c. J2 F! Q) I3 C
    & l( h6 p  h: E+ Q
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。1 }8 g, k% L9 F

    3 {. X' y4 m7 n7 O2 B6 L3 k9 ]$ q# H3 Q( p7 e, t3 u; m7 D3 f
    / d9 }) B! k: i5 R" P+ u& N8 V3 m1 x
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。) T/ s1 `3 b, x0 O) r6 p
    5 S3 ?0 k; ^$ Z! @, e) k6 I. B8 o1 d
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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    testjhy + 10 谢谢!有你,爱坛更精彩
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  • TA的每日心情
    开心
    8 小时前
  • 签到天数: 1851 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    * N4 V  r" m6 |, v6 e% j! ^以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    1 s* `6 a9 m. {6 k& F3 y3 _9 J/ g高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    6 \1 @, y  H) U对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    8 小时前
  • 签到天数: 1851 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    4 T/ j4 `4 Z3 K% w0 L9 B1 _- W又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
      V. ?9 |* i7 s" A; ?
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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