我理解的拉普拉斯变换

可梦之

! Y& M, P) o& p# ^  J& {: G; k最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

6 c2 Z. n7 y! A) T4 v1 |. p9 }6 y众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

6 j5 w/ y, j- y. p' K8 s电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

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3 a7 d) R7 g$ h, T6 R  D' S9 [
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

- O8 X, W! v8 N( Y( l1 ~4 K

& q$ {6 l- a7 h2 z0 Y不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

3 h3 W% a9 ^( m  X3 L% l; t1 [- H8 }% m+ w

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

9 I( m" y6 k: B8 x7 R  R

& w; i% S& G! s! M4 |& N傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
$ T: c/ h3 {. ]: O; ?
  R, y, {1 P. \  [0 e: `5 w4 ~拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
! F. y1 e0 |$ y) f0 w7 a

+ s6 v6 L5 i" p  G
( ?9 p1 x8 i! X3 V指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

$ b1 b* M6 F3 ]5 Q* k+ Q有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

8 K/ y9 G3 y2 Y" @& ]6 _* \3 P( h( S对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

% s0 ^6 {! J/ R" i8 F对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积