我理解的拉普拉斯变换

可梦之

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最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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$ S; a; F, U, ?众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
: @8 e4 l. ?7 ^: k1 k; k. M1 v; B
8 u' M7 W0 z; R# g$ I电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



. i1 I. L. K0 T" s, s翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
8 N0 u9 v) g* P
. g% j( ?: C, X
9 y7 n6 `( U! W7 l7 }8 P3 q0 O
4 J+ ]8 i( m* A; k不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


  W8 R0 m6 {8 `" ~
( j# `9 c5 f* B  Y/ n数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
( o5 N' D/ l8 v7 ^) K
$ R: r* o2 l$ M% O7 p. I0 n) I% b& E
+ C# {+ [* ?. O. O3 f+ }. m' E
; Y: L/ o1 |* O! x1 ^8 w! T傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
* H* U& k+ o( e% {$ P$ \! Q
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
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7 D2 [* O$ ?/ X* e9 v# P
: n, V0 }$ Q0 Z3 q1 r指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
2 v- U1 r% R4 P& j$ W
. k. d* b3 s) `* J# j有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
8 V) u& i8 x' f$ q5 g又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

$ m- Y, N! [4 G4 U对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积