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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 $ S; a1 J6 d, q; |% |1 g& {

    2 S+ G1 Q+ V! y; n) m" A最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。1 `. U. h8 B, m! }" [1 V

    4 r- Y" R% I$ Y5 o9 `众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
    ! |& @" G9 ?5 {- u7 [" M
    ' }  c. D5 K& H( K3 Z8 T电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
    " i2 `3 z# M! Q: [! t# F2 d0 G/ S% G. E8 p" U" Q, T

    2 C! ^1 V1 _/ ^. a; k. c
    8 o3 Z- d+ l; ?) X* T翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:3 e) w4 {# C: z$ I) }
    : ~! N) Z) z8 V! x7 B6 L8 h4 ?) o
    4 e4 x0 h0 p6 e. M

      u2 K/ {; |1 r# s: t' @$ ?0 _不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法! {! o9 Q; H) Y" R( u- Y

    : T4 Z, a* D7 n& x7 W8 a/ J! ]: u: V/ C5 @# X+ p# h

    ' I8 v' R5 D) u# F数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。4 ?! w& p) Q/ e5 p1 M

      L+ h' I; w" u1 V' I) T- T$ O6 j# G5 g9 P

    * R8 n% `6 z, w. v. ^傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    ! z* p6 E- @2 Q- F( O
    4 V: y: j& Z1 s6 E) ?7 }( T拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
    8 \. n8 ^: _: w3 }$ T
    5 M3 x# G, N) {0 @% d0 r' d
    - C; v0 k6 t, N6 L% p/ [/ O6 x, s  C, b4 P+ {# J5 ^( A
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。) `2 o5 e& o7 \# y3 B0 U' x" V; P8 c
    , H5 f; M: t+ C1 O+ Y% a* R
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    9 小时前
  • 签到天数: 1872 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    . N) ^. p3 P; n4 k. _' ?以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    ; F& S8 C$ ~( L1 G5 M" T  U高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    3 ?) N  D6 d4 x% a, |. d& f对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    9 小时前
  • 签到天数: 1872 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    7 z! g- F+ r  X9 e% i1 w4 W+ c9 \又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    / {# k! ?5 s& N9 x; Q) i3 R
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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