我理解的拉普拉斯变换

可梦之

% y, Z4 Z/ k( s1 I* Z
$ K5 c4 _4 v, X# P3 u/ ]1 Y% `最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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% ]  s  u0 P( v! S电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
. g" A0 s3 T6 l, ~( |) f
% t# `! q" R# V+ b9 T1 x

翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

9 [" C3 p$ e. x3 w6 @) V

不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
% T) B. v' G: g* l# V1 S8 ^* @0 M
# Y" g6 f+ D/ w8 E+ ~( ]- v
5 Z0 H9 T8 E( s$ f: ^) f) a" T
6 l' E" q( x' r5 S( O8 N8 A' @数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
/ f" U+ \5 `0 B0 _  Z: K* c

! b7 S) N% ~. h' p( f
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
8 p9 Y& d- v- Z) k
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
8 M1 y1 m  y  f! l; g1 u
  ]" \; F/ ?- t! H: A$ o

- c. b7 j" Z- {, _' M# K指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
6 O$ R: p' [) h3 Z以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

# B* _. x% t3 W1 {对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
, _- k* f) h' ^% S又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

" L9 h4 s3 T; D对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积