设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 2006|回复: 5
打印 上一主题 下一主题

[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

[复制链接]
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    跳转到指定楼层
    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 4 T) A8 i6 _% u" k0 d
    ! o3 ~- L; u+ C: ?
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
    2 G* q0 ^/ ?+ F! S- c; h  T, h# p2 A
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
    & k( F( r/ m( c: v& y
    9 T! d  ~( }% l- f6 T电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
    . D9 L  m& ?' n5 L$ C- l9 i/ g. Q  L1 S- J

    ' v4 x% B/ ], z/ D0 L$ Q! ?0 D' J8 x# v7 b% }
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
    + J* B9 i& |2 \3 \, [! c  T; R* L; g& @- @5 P3 [3 D4 }
    " j( i9 A: G& o3 ^/ A3 j/ C! h
    4 @  A( Z" D7 @
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
    8 h! W+ G$ h- L' r8 e( u5 \' {; D* H! n- O+ X9 b

    5 t! n" L% d4 J% w  D, m5 ^, x# ~" @/ h" |4 ?6 |2 c
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    - S- b- R2 X! y
    1 c& R2 q' [6 v' V* w% Z, b  h" y5 O/ q+ J) [

    + R  i/ }5 d, R# b. C$ L傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    1 r. b9 ?1 ^  S7 C' g! P/ [# ~  j
      E6 J) b, k' H! V) @) b( i6 C拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
    1 T$ ]* S1 [& C) s/ E! t8 d! r
    + |/ `& {0 o- z( P6 j: ~& M" F- `) f$ g" B* J2 G3 z

    8 G. @. o3 k* t指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。# B& e/ ^2 q/ M2 |

    0 T" e+ e- |& B( q+ H2 F/ B$ S6 L有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

    评分

    参与人数 13爱元 +102 学识 +2 收起 理由
    mezhan + 10
    喜欢 + 8
    老票 + 18 + 2 精彩
    testjhy + 10 谢谢!有你,爱坛更精彩
    helloworld + 6 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    开心
    15 小时前
  • 签到天数: 1754 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来0 h8 H( Y6 @( i6 m! {# N
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    8 [) W) ]$ H: k! r+ W0 |高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    4 J, n3 L. H! Y* n# u9 a
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    开心
    15 小时前
  • 签到天数: 1754 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

    评分

    参与人数 2爱元 +16 学识 +2 收起 理由
    helloworld + 6
    老票 + 10 + 2 涨姿势

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    6 d, Q( E. h- `6 c! R: J又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    3 Z, Y- X/ W- w
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    helloworld + 6

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2024-12-25 16:07 , Processed in 0.039812 second(s), 18 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表