我理解的拉普拉斯变换

可梦之

! P1 m7 y9 v% h  s2 A9 m8 m最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
9 r+ y  [( [, L# I- C& ]

  O& F7 [6 V$ g* p) B# ^- ~
+ p6 C9 P- _! E" g) M翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
1 I9 F. w' d+ i) D1 g
& o& X5 v1 H' c/ a; l
. N' E. |6 k% @; g8 h6 i( g2 ^# F
1 f* F/ `$ d% X1 i; y! O不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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! l9 j& Z2 Y% W6 y/ X
, T6 K& F) L+ [( X: H8 {" u* W
" N" p% `" h  l5 Z" ?数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


3 F; J9 X: n4 I; U% p; `. C
/ ^: C+ ^8 `7 e5 A, ^傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

! H' t8 g! y' c. z, N拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。



+ F( m+ ?" S/ R; l1 g0 {8 Q2 A9 Z: X. E指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

  Q  E2 R" ~( o% j1 s" ^8 h" W* P有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
' N. q; [* y9 J6 c* Z9 S以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积