我理解的拉普拉斯变换

可梦之

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最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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# q* `* A2 b$ ?4 W- G众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
( F4 x* [( S7 c
7 {2 y2 I3 k) Y, g8 w# d电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
2 X2 O$ L/ R. @2 k" J- j: H7 ^
& \% U4 y* K6 ?$ f( @; s. k
$ u# d5 [8 c) m0 \# X! T
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
4 {* i6 V1 g: A7 S2 |0 n# E
1 d( A" t  U& w4 E& V: t/ s3 O
( O" r+ }* R; }  ]
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

4 v. U) F% k, ]5 \; ^' @( b
$ R* D: i! T( I4 L
( E1 o" u0 ^5 o( \! V2 V% X数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
) e2 A, t( c; x% J6 n5 G
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
8 ^1 x( v! G& B, X  l4 Y

5 E$ d& a$ b  z' M2 X: h& A
0 A, i' Q: \: J" e. j& n% L! M指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
. w; I* S+ v: K8 [( q  d0 e
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

1 Q* T1 j1 C) n/ f; V+ i对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积