此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

  y: Y# Y/ H$ \$ G/ g$ i: t) j9 c
" w2 ]- T% h: F7 `8 ~其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
- \0 @! g# Y1 E% G  r2 ]$ Y: [
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
/ Y9 E. D% _: i" u" f- }! ^
' q4 c- |4 w4 X8 ^% e# `没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
6 d( l) x% v5 y( p/ s0 l0 c
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

* ~% F- C; j9 ?& f. n! Z) b您对答案的理解似乎有误。
: q& e5 g( o  q8 S6 y随机变量X是测试过的元素的数目
1 a7 c& h/ \- i+ p2 D' v9 r而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
5 A: Q% |; P  e0 z9 u所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
6 w' F0 a  ~+ v9 I# N9 k* u而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

2 C  j5 ~9 Y3 x0 F, I. ]1 Y$ ZE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
& D. B8 k  Y* S: C& y
2 q) T/ X7 n; F% l& K然后从头开始：
" W1 o$ s& n: _6 h8 Q" eE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ }3 H+ e. L/ M! t* l1 \' s/ m) ^/ GE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
  ?! o/ Y# t* x( v# s! i* ^, M
0 r) X8 a! q/ Y3 V原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
5 j" d2 _) i4 z! ~而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
( s( Z1 ?) w& l是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
6 f# |: n' y) \5 [2 J# k5 W多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
4 D0 c/ {8 R6 x" J1 p  n
& r2 B( ~) u9 a, q4 H( P, W! oE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

  W5 d2 ^# T. H& g
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
3 H( c  t! e' Q$ J递归法也是可以的。

. C$ Z' T6 Q* f" W2 d+ ]其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
' J1 l8 p$ U$ C4 M8 N, P" J  L否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

1 e8 q8 i1 {$ r( N而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
' Z; ~% w2 t' x: A所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
* e* T, N8 L7 x- u% k( L9 Y1 B
; z' ~' h! \3 Z" \" ELet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

" o. e. _: f  uFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
. {; h* C5 v3 X6 P& v% _
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。