此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

7 Q7 L5 \8 I+ t5 M3 D# v  @其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
5 }0 s0 q+ _# b6 Y在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
# R$ y2 v- z+ o% x
# T  Z( A+ l; y' |" A& M! p按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

* a6 O5 K, h6 ^- [: Z; o" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

4 F% ?' y: f. p0 O6 K; ^  v/ l没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
( i+ n! L. o8 D" \4 C
. Q: A# d2 d6 X% v$ Z" [5 q! J老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
$ J& Z+ X# p- W, p0 @随机变量X是测试过的元素的数目
( Z' ~0 [/ p# ]( R8 \8 m2 N而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
; M4 @* L3 g; n9 B5 C而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
+ t' b1 d3 K" P! j8 N  {# X; |
" t! l9 T: {( _E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

/ N/ a2 k* W3 C: z" B5 u然后从头开始：
E(k|k)=1
: T) [3 N. _" f4 |8 t! FE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
  o1 h8 |1 Z- k- hE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
% `: H( e/ ]8 J) s/ `Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

* J+ |7 Y- J+ j2 D8 [* e% n* Z原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
( |% A. M! M: K4 M! p. r3 G) L您对答案的理解似乎有误。
6 U+ }0 W6 H* }" T+ D随机变量X是测试过的元素的数目
# [7 o7 M' W7 J2 z. R而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

$ P0 B! m- x9 EE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

2 ]  E/ o0 C/ v- P3 z
% ^6 @" }! H' a- a$ K递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

# a* z/ X2 t2 {: \- m9 f, V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

% w3 ^$ K& o4 g& T: ?4 B7 v

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

1 o* L# }; r" \我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
) I5 J* S9 }1 E7 Y0 ]  Q/ A! ?否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% A! I  Q1 L3 H+ J  |
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
6 K. G7 p, v) ?0 {所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
* h/ v3 ?$ x" ?! A8 i4 X
1 S; C* I& h( {0 s: j* g. O2 oLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

8 {. G, L2 U  e+ v! f: X' WFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
- }3 d, {' p+ I. x/ s  w
& \9 Y# J/ V3 A+ o, _; QFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
( p. N5 m1 j9 H: u. d( T$ k+ z( G
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

9 X% N! _* ~  W) ?- a, f理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。