此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

4 ]5 o' \$ ]% s其实是个概率问题。
. ^" Z+ O7 v9 a: z6 b( l1 z: r& U1 ]那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
" B. \, O  c% }" e8 z在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
) r) F& n0 |4 C3 g+ q) w3 |1 t问题就是这个人的表述
# v2 [4 E0 l5 v2 `2 X9 }% S: a$ thttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

' t+ E# \) s# c* B没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

: }% t! \( a6 F  `& i* i# s& y
# m3 J6 T# U# O2 B0 U* y9 e& G# m: i您对答案的理解似乎有误。
- U, D% H8 V9 S% o0 i1 o6 O$ a" @7 j, l随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
4 H0 E. u$ M; t5 E7 e而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
3 e3 F5 o/ x5 y% w您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
: D% z* e% J3 u: C3 o
$ _: U) C& R( \4 _7 C* dE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

  H) b. b8 c+ d( V+ b. _" y% \然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
5 ^" `2 O* H( \' f4 G( p3 p- MFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
* }. `: i9 n/ s5 w1 j6 j
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

% Y8 Q  M7 ~8 N' I明白了。
$ {) k- Q$ `' y' J6 W是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
) m* D8 z0 g8 n7 i多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
" G! r4 {2 d& e# u* e4 v- s, y7 |/ G这个题目可以用递归的方法解决：

8 g; W8 A5 ]) T0 u) X8 V+ uE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

1 `; A% y9 f# T# E: V) Y9 O2 F% @8 K
' r* @3 a4 w: u/ y. V递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

8 k5 m* j/ l. l7 b* [其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

8 ?) n$ Y2 L, y2 H

老福 发表于 2022-3-26 12:01
' f! [$ q1 X* y其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* E* e3 N, b- A' C5 s$ M+ z
* n; D- i4 i7 X我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
3 W1 A+ K- i& V1 G7 w; P( K) d否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% m" P1 [$ Z; ?. g1 a1 z6 f
  D; w. A( m% c! ]" b+ @而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

$ F0 O. x+ I! ~' ~, Z. CFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
( F9 T- e( ]) Y$ Q7 p; y, F
& d# r+ V; F" dFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

4 u6 B  X$ f8 _# u, a+ V理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。