此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

. i1 t$ P( H* G% s2 L# Z, ?其实是个概率问题。
: |5 W! o. p% x: k* j+ E那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

2 q1 d' n& B# o) `3 r; ?; S& j/ n按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
$ ?( F4 m) U0 l# U9 _- H) K  d
  H0 q  ~( L. f7 J" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
3 d% f0 m6 i. D: \4 D7 f
8 p) [* o# Z4 S3 s1 ]/ f没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

7 J5 V% ]/ `  J老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
: E8 E- i2 T5 ^而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 p# J5 d+ ]4 S: x+ @+ n4 @' ~您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
" T+ }- s; A) q4 k0 s
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
( |, S- I) \8 P$ [
  m5 a! [' Z* _3 J然后从头开始：
- J1 n) W, `, }, t2 ~E(k|k)=1
" ~7 C* o8 E; qE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
/ `/ N) _: \/ M) F; XE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
' V" }% Z1 I# _  D1 c) j
/ }- X3 {% f" F+ O3 W原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
( f4 M1 h, x  V, }: P5 N9 Z8 q您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
4 j. e$ W( F! |, b/ o$ f而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

, q+ q+ S/ V, d明白了。
; {0 A5 I3 [7 c! {是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
1 m) Q" B8 B! w  E3 U& J多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
$ a" R% U' Q5 N, e$ v3 t% ?这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

; C6 f+ w* g$ n1 M6 }9 e; i/ Y7 J
+ h: z" n; W0 d2 \递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

6 K+ t( x2 _$ Z' G& u: w" e其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

! I) t6 R1 v. x! p

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

6 k+ b6 Z7 D' }0 |5 X$ o& j
6 M9 K7 `. B; E% V8 w" u. b! M! H我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
9 r2 Z; \1 T' h6 j  Z$ L1 e否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

* e. G1 Z8 r! d- D* B1 z而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
; i% a. ?; }  S- u1 e所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
  j- t; U8 ~& Z3 l
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
" z) v1 I4 p5 X5 j& l
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
& j5 _5 U" [4 ^0 P) [- `# K- z/ {
' N( K/ S% n- e1 Y  d8 b% zFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
1 v% A: M2 I) b6 r2 I
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

6 Q" A& x( E) g2 F7 l& }  Y理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。