此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, x% Q7 Y: u5 b4 [1 o6 ?
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
4 ?' {3 _( {* @+ m+ y# rhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
6 h$ H  {# M( D8 {
. h/ \5 m& J* }2 T- w按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
1 Q* G- J1 Z/ v: }' q
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
) Z( t& n: n- D7 R. y
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
1 [( B* \+ G) c$ l/ D$ P
1 f' Q) B5 X! @+ H老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- Z/ g8 F" K( b# ]您对答案的理解似乎有误。
! s9 O/ M2 @) n' h) z/ L  A- c" e& ]随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
! @; L6 M( Z. H) [! D# a, s所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
7 a, |. K; N1 N, d6 x而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
& l1 ]5 Y/ ~! i您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, A) t) j( J- U4 u& W: o$ u: A3 y然后从头开始：
8 `* K! G/ m; {! f0 S4 C6 H0 ]E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
3 Y# r; w4 D+ y5 q, s% f1 sE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
4 G# f' W5 Q, nFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
1 A2 O# w0 A) D' _2 V8 U; X
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
  Y4 r1 G/ m# f$ {4 c您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

/ k  ~$ {6 u  _* e9 [' @' ~3 P明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
) f8 i# j2 Q, `2 V9 w7 {; m这个题目可以用递归的方法解决：
6 z( W( a* F# l# }' Z& d
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

/ p' q3 m- ^9 w) ?! {7 w, n
1 t/ f" ^) l: S1 S, O3 s递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
: _0 w6 |$ |# g/ L递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
; h) Z  `' x1 }, p, m  l其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

  l1 g% L% k9 t1 w1 k; S* z5 b9 k我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
5 m3 y& T' ^: H( X& ]否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
7 O! ^+ N' @1 d2 v3 l所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

2 N  ?9 x9 d; H/ p7 X5 W' OFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
  N) ?% a& Y3 w4 y
3 ~( k3 K& u- E7 s% AThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。