此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
* T6 z  a3 r, G! \) q在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
5 E' @! X5 a1 F( v3 Bhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
7 V" ]- n) X# I( t3 D( j
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
5 b+ S4 z  M7 A% _; i+ K$ \
) w6 ~' z0 a  x. B8 C8 z; G& v7 C" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
5 T& I& o' I0 T5 V
- T5 X6 M' ^3 [老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

, l- b& ]- K# W: [# F+ n2 G- Z您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 Z! h; m! i) a9 h5 ~4 g而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
1 u( Y# u! E% O+ x1 A
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
5 W- m) A) g# t% N" tE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
( y% l; u7 v# l7 y0 C# q2 f: ~! _您对答案的理解似乎有误。
3 d& q& b& L: {* \) p4 w随机变量X是测试过的元素的数目
2 W8 Q. U6 e0 i/ i4 u  F5 x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
  z- M, T7 }; C/ i2 D* t是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
1 c, v: t3 Q' C8 g这个题目可以用递归的方法解决：
; x+ v$ ]9 A( i/ d, Z
6 e1 `* d. Q6 k3 k  j% [$ M  OE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 I8 u0 D7 u1 b# h: W$ A
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
( z) _8 \6 x- b1 X; `递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

0 ^. a' r& E$ x) M  |' u9 B

老福 发表于 2022-3-26 12:01
" ~6 o9 E; k; k# B其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

$ j& ?: Q- q# g/ Z3 p
1 i4 s' ?! s  k) V* y' |. K我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
5 Y9 _4 I3 U* K) _; J( v* L7 Y) |否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
) N2 H9 z3 W/ M3 r- D
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
" g. n0 Y6 t- C# g# a5 k) k
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
) t$ |5 I& Q0 h- V/ w
! n  j$ h5 C5 l; `' PFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
8 w; t' C2 E8 Z9 F, O. j3 K. S
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

6 k! H) ^+ y, bThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。