此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

- _/ f6 h7 D) X$ I0 O" ^& Q其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
7 w& W3 y4 ?# H. G* M. ?在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
$ Z' z6 [2 x0 {- P/ s% N, \
* a! q9 h. O4 k+ `6 V: q按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
. s' w, G+ F2 n, h( |; l
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

9 x* I- P( [) R4 y没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

. f, |  h  v8 T% v3 r老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

' \7 `5 X! Z0 o2 y4 y; V, e
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
. f% Q* F( t+ v3 N- l$ G2 m1 r$ Q" y而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
' O8 X( ?3 G% M% t5 \
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
& J4 t1 @+ F' S6 p8 Z4 U
" S/ H5 s* B4 Z* b4 i5 j) R7 q# a然后从头开始：
E(k|k)=1
/ o5 z! ?$ J( y" C. UE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
( B, D' g. ^4 g8 P3 K3 gFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
  _. v7 `' t+ f! F/ J5 Z
* U0 Z% c% U& C$ i/ M原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
& C: K/ b+ ~- P* p5 A9 d而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
, \9 y5 v- r$ S3 F9 N" j' T* U" T  h+ N是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
# V8 c( |# v8 L! @: c: V这个题目可以用递归的方法解决：
  n9 E, j' }+ z( _! E* r
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

' S2 R! m* t1 z8 [其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

0 y" ?  j+ j! N, g! D7 J

老福 发表于 2022-3-26 12:01
/ Y$ y4 h+ u, _& S# C其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

! A' t* v4 E/ K! t% ?5 U
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
1 F4 j1 R. F& y4 n  B5 B
( P& P- @+ X+ s  u( l而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ m# E5 o  \1 J% ~7 H2 Y0 J2 v所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

% S, U0 z6 S! f) bLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
9 ~& g, ]/ m& x. c) z+ x# e- J' b
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
3 O% a. l  f# {4 ^8 u1 I
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
& G* N. x+ ]. }- X7 k) N
: L9 ]+ W* Z0 `理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。