此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

3 @3 y. b* v, u5 i! {$ u
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
3 A# @4 m0 y. k2 ?- G  n1 |在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

1 k. q' B# e& v" q! F按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
0 g+ c- p/ H  z4 f: l' U
; K+ ?. }, z6 ~( D没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
# v# S: ?+ o- d' c% @5 t% P! r8 N
/ F6 X  ]9 a: h, O1 d( y4 u* M老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
, @3 h' Q3 ^, H4 S+ Z/ \' O; B随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
, M# |3 g6 [; B而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
' L$ J- v& j+ l; k" E( G: Y0 G
: R/ \$ L. ]" ]6 mE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
/ P% B) d; N9 a( `" H- H  E! j1 H
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
5 |4 o- r1 W5 h3 V$ z' zE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
8 B& x: \% J/ [* b; d8 L: f$ y
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
+ W% k$ P4 e0 h* o您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
1 G: U* R2 T; E# r, @/ Z  O而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
) t4 t# Q6 w: i5 U* e) ^) ^多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

1 Z, t9 S" e5 U" A, `9 Q  B: i$ \E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
, t$ ?7 S! p" Z2 ?$ v2 N$ y) p递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

" x9 b  ?  ~& E6 E  [

老福 发表于 2022-3-26 12:01
0 ?: f" a$ U+ _7 @# G# e/ M- H其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

& E- @' a* q4 s# ]4 _! e! p4 ^' }1 T
4 P+ s8 R* R; U1 p# a我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
# T! g) A  F% S# l; y
: v" o9 U+ y5 d3 u, v而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
# X$ J' G7 J3 A  ^9 I所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
+ _/ p% t1 l" W# a+ k( g' K
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
) n" T2 a. ?) {2 z/ f
  u$ j) G3 Y" e' p8 E: iFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
4 x1 X" t0 A% S2 b. y+ B
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

# h8 h3 y7 P4 A& Y% B8 L理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。