此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

- G$ [7 e5 C$ e' {) ^6 P
其实是个概率问题。
  e/ j4 Y$ \6 H9 W$ `. z' J那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
4 H! O6 A+ l/ t. a% G在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
) \7 c- `( U. r! C问题就是这个人的表述
% [( R4 E1 v: X- khttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
; Y7 Z& d2 {. R6 w
4 h' W& c7 N; r( G# K. l. M: Q按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
% n1 c1 j2 A- d. t6 b6 v
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
2 z0 B0 _6 H6 m) [8 Y
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
& G5 B* g, j' Q: k. e. K! x
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

0 e0 g# N" v6 ]2 B
+ i1 l9 a3 D  v7 e. S您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 O+ s! _" w% V3 t0 l1 f而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
, @8 d; @) M1 C所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
1 I( u& V; v% q而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
: O3 l) E; }# ], n* Q6 ~2 o% y/ i
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

3 L: U7 L' ]; A; V9 e. j$ `然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

& B! v6 W/ X6 m; ~5 ~( O# a# x( F原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
% `6 i0 B" h8 R您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
1 B( Q& `7 f( _0 K  |- A' ?而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
) R* ]' k% T0 L0 ^( V多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
( \- e( a4 U0 }
/ v$ k' t% J+ L# v4 r: BE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

/ k4 P" \. {' j5 ^  ~8 V$ G
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

' A$ g  d* P! p其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
  {" W2 V# I0 N) B$ D其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

2 e4 N8 ^: s  S( |- e我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
$ Q! m! y3 W2 k; ?+ V
: n3 s3 V' V4 S  T# \. U! |而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ O& b. C. }4 m( v2 B8 x6 I所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
( C5 I$ m# e& h* [7 x* J% ]# r
: o# J3 ]9 [( YLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
5 }5 V4 {# x8 Y: k$ m
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

1 Y! X- a9 ^3 {3 O4 w# l) n! z% |理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。