此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
% J3 p' D1 o" C  f1 \; k那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. h$ \! a) M  O7 K0 K, [在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
- ^4 X# U$ J1 i! h' y9 ihttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

  Z9 c& m) f* F& x+ N8 ?* f按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
5 T" X3 X! V1 f. x% r8 `
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
( P$ C/ A# D$ V/ ^( e8 B* {8 W
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

7 S5 q  @  `" ~. w1 y3 S
您对答案的理解似乎有误。
0 B5 E/ M, ~* }! n2 f随机变量X是测试过的元素的数目
5 N8 v$ U4 ^9 b# L9 q& q: a  s4 Q而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
$ A  \& a1 t  B( Z$ \# v4 Y4 j所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
. S2 u8 L5 }& b4 s) X. [而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

. z; L* K# u' f* hE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
  e6 L1 h; S8 ?
5 d/ ^$ `2 t- ], Y& n" H' G然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
  h# J$ l  v4 b1 E6 S8 ^+ j- g+ ]E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
+ S( `4 ^3 }0 j) p% W1 \Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
3 m5 r( \/ B% s& m. M
. n$ E& G5 y! ]; W; a2 K原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
# [- T5 M2 p6 d; L4 q随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

% V6 R4 D. X- g3 K' r' f明白了。
4 a& ]% S1 |7 c! b( L0 k是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
- I7 g4 |6 B; N5 T6 c- g, W多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

( I8 f0 k  g9 Z  e递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
  O7 k) g- z, N. Y9 b7 a, S: S, E递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
; S' ~' T$ q  `! E其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* e# R* u3 o$ ^  J; E7 m  \
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
1 V# W  f. G0 v% p$ q$ X所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
0 m& c5 s3 Z0 z2 z, P7 V6 I9 M4 S
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

' U+ D# X' ]2 U( RFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
8 t" n' y3 K7 y  ^  C( f
+ O- |+ p% T- D% P) l! r# Y理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。