此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
7 h3 D& m/ U) }4 U; {0 U在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
7 Y6 g! x/ r* A1 P5 P问题就是这个人的表述
! \, A7 ]5 I* U6 Ihttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
/ S! k# m( f; g  W+ A4 r  \" J
: O9 b7 L0 P1 E* T" E% m2 v按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
& f0 D9 `$ }, f
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
0 z0 K3 u3 q* m, q% _
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

0 K' a/ {3 }! i4 c( d' ^; i您对答案的理解似乎有误。
' `: X! [4 B2 @* i* h* P随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
8 w$ ?6 _0 \* y+ R  l4 R所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
: K4 w2 Y2 I+ o& @7 r
7 G$ B  c2 X% k6 V& PE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
; y2 Y1 b7 u4 h, h
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
9 }# J( ]! j% V9 U8 y3 Y: ]Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
. ]# d" c9 o, A+ f
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
. G) O$ b9 K7 g您对答案的理解似乎有误。
3 ^. b( Y& X: P( d2 ~; {8 u3 O; p随机变量X是测试过的元素的数目
0 t! ?1 x" g( @( g* |而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

" Y, u7 V, T: m; a. c明白了。
9 Z8 _7 J( y& X0 g* w8 f: t7 ]是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
8 R" |0 V- }7 K- h多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
8 P( e) T' E2 v) K( A这个题目可以用递归的方法解决：

4 S1 e7 C7 }8 m' Z* rE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

# b# S, X! h8 [
) I7 v1 y- j0 I  B& h1 T6 e, J递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

; ~2 n4 J/ Z; C8 K, w) I# q# N1 L

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

( u8 [  [+ x4 s- R% Q' v, u而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

$ M% u# a8 `& `, g# WLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
6 A9 v( N3 J; ~
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 |. W7 j9 Y+ Q& a; i
1 l2 k9 l4 J: J% iFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
  Y. h& J- w. |9 T2 v
( Z& p( W( t/ }$ d- f% b6 n5 fThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

% g9 p$ [% O( E! v$ `理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。