此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

' j- g* @' l, B  X
2 [1 @2 k7 S3 S8 ~% [其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
& c8 k: M# s" a, }+ Y( V7 n在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
7 ~% N/ O# V! N问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
1 d% J$ @# K) u  Y- @# d8 `
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
0 i# R4 m: K, V1 ^' |2 h5 C
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
4 g: d" X4 D/ r% l8 F" K
) f  }* U& x: x& s* W6 _4 x没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
, y' _% H2 `7 W& H! i( r
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

. ?9 O5 M0 j  {
: Q. G7 s+ O% |; t/ j您对答案的理解似乎有误。
& ]* I+ F" G5 T4 i+ C随机变量X是测试过的元素的数目
( \. \" B: R+ q( B而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
0 R, U% B4 T& a) s# c所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
0 G, M$ a! N% e而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
& o" B& K& R4 q  F9 I7 D" d) p2 @您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, l0 ^3 B1 ^2 A5 _/ X5 R" p
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
- u/ D/ {# v7 h4 f9 |0 L+ dE(k|k)=1
: _' o4 f& @& j  |& J: v$ bE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
6 a- |' d: b: @% rE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
2 J0 n0 K0 o6 }8 p* I% Y2 v
/ d# l, p5 l6 R( {原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
: y* q. P% F6 s0 X8 q% [您对答案的理解似乎有误。
; O; B' V. i; u6 q3 ^+ s$ M随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
9 y  v  _0 _  }. i, l4 |7 L是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
6 n/ {" @2 t5 V6 V" p8 |多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
* Q, R& H. K3 I6 z) g
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 N1 o) i, |& I& ^( P# ?递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

, D: @8 }/ ]+ M% [& |其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

3 D; ?' _+ m2 U

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 b# g0 u% ?$ P, V7 d7 J% Q, r3 k" d
+ Z/ V/ F: @, n# B我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
% g" \1 o* E# b2 F& H: l) D$ Q5 e否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
, Z# Y+ B& c, n) g  Y& ~! j
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
& t! N' e7 y/ v7 G" z所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

) W5 y$ j4 K" Z8 d3 W- `Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

' ~8 J( k' D2 D3 |For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

, C$ K+ d+ J" E9 _" GFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

  @& H) ?  M5 }) t7 P8 r* zThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
" J: q; A3 O3 Y
$ ~8 m1 U+ a( o! X8 |理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。