此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

# n7 w1 u5 }4 W: n$ X+ J
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

- G2 |, h% J9 `5 w0 \按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
" m" d6 r' K) q7 H: o$ o6 u" P0 B8 X2 W
5 @, l. d* ~( N2 _& [4 \! e& }* e没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
% a  R7 S, z* f/ {3 l9 l  @
) Z5 R1 d' L/ S+ _( h' e7 h老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

$ l9 L8 R6 T2 a% {# J
& ~/ v" l# x) G0 g& P" X5 V3 {$ i您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
: I  K; `; ^& k( F+ V$ Y而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
) X3 u* y+ J1 ~( f9 p所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
' W" d5 H+ \. U, I" x您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
' J) r* n  h, v3 e; P" u3 i: ?' V
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
6 ~8 K3 K5 b) l. Y3 M! w# a6 X$ G! g5 u
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
8 O% V' O3 h% @2 t. ?; ~
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
' H. |; r0 T$ C! w) a0 [您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

9 ?$ C+ c+ X% r: T* E/ Y明白了。
' ~' A$ j; f/ ]% e$ j, m7 |是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
0 _" `5 x* ^+ l, D; K
% X/ S2 M9 L1 Z7 L7 q# G$ ZE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

3 N& W, D3 k- X1 v% P% A2 M# s6 Y
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

9 i4 Q% h" X% t4 z* K其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
, o3 }- w! y# ^/ e, h. I/ y/ q其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

  I4 |/ B2 I4 f# L' I
! X; e% [" h0 @7 Q, c我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
8 b- j9 l" F* Q' G/ ^/ |: h9 d
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
, V# m0 i9 f6 U6 f  O; m所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
0 m# O0 f' c$ G/ V; D
! o' T2 ], k2 L1 b; A) {Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
9 x4 ?4 V5 t* V6 Z' U# k; J
( L+ A+ l3 v6 [& k: V3 TFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
( V8 |5 A+ L0 V3 r! I( q( j2 g
8 I8 P' B( }5 o% x% ^* L* B) S; M; y2 U5 aFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

/ q0 F  C* g! y0 C  F+ D; J9 T; N理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。