此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

' I! l) K- K+ \, i* V: @其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
& ~# u6 N9 L4 I: J  S) O3 a在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
1 q- T) v& a0 a* ^/ O8 X) Jhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

+ p9 x, ~7 r5 E& A* O按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

5 T0 `2 J% _/ G; x0 V. Z1 ~7 o没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

: o! I2 b& @1 L老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

5 _: ^7 H: [2 x" x0 s5 ~& B) d) T$ ~您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
1 F- _. R$ L; T7 v* H2 @8 ?而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
- F! E" ]& J& Y  a, y2 t所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
* i5 u: d: M7 r/ _& c4 y- B7 U
& P2 m, ]/ L0 P/ ]' b0 |* ZE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
. d" m' n& x: M; Y4 ~
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% z3 B( H% b$ y8 V: m1 S" U- A4 m9 HE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
) }8 t; T  `. S- g, v& iFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
- @% d8 u2 O3 e, v' a! d- a
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
* S2 C/ ]) ]) j# F您对答案的理解似乎有误。
# ]9 F8 m+ [$ X& R随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
! H  v4 Y2 X. G' Y3 N是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
3 m; T; @8 _9 b多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
' g  R# j& J2 K$ D4 u
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' K8 Z9 j# a0 Q7 B5 Z+ i# E# J! S
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
2 |$ [" e& Y8 e0 y( q) B
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ I0 p# |8 E( q所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
/ P$ P' G$ e  \9 V, T7 \
( k, X) F# w" CLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
% O1 M9 ^% d* L  A& T9 A
& C9 a2 ~4 ]2 p; Z, ~/ P& M# LFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

+ ]) ?" u7 e; r. S" }6 N. p; p1 pFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
5 L+ G) L$ B2 ~+ g; U  O
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

1 [5 b% \5 X2 f理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。