此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ u( w* c+ K9 B3 _0 h, ^
2 v  L4 A: Z& i0 t# e* C0 {" G其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. m, f$ c' R. N7 B在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
7 f- U+ r! p. V问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

/ n0 W/ k  Y' ~+ K  q按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
$ N/ ?$ E" F; m! r& `+ S
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

3 V2 j  B, K" M) |9 \
* E  r) B6 g9 T您对答案的理解似乎有误。
7 P( S0 C# ]2 W" \8 M随机变量X是测试过的元素的数目
) y* @# c1 s1 {, X而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
$ k- [' r3 k; U4 }' z* o! ?1 V9 W
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
9 e* _3 X/ _% m. o) \E(k|k)=1
  |1 Z, A9 \2 D( w2 VE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
. ?* S; x) m& @: C4 pFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
  s# E) q6 S- z" q您对答案的理解似乎有误。
. E/ F8 c- S% q  h+ B/ N7 e随机变量X是测试过的元素的数目
8 ?  _$ C- w1 i/ z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

! Z4 M; T7 W" l明白了。
1 Y; }' Q: ~) P9 }3 J  C: P4 S+ M是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
5 B6 K$ t3 a2 b( U# ]多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
4 Z! i/ e: G7 w3 w3 p( z/ ~这个题目可以用递归的方法解决：
5 s: g9 t2 f/ F+ C; [, p/ Q
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) r0 U9 }# I( D+ e8 b7 g
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
7 Y8 ~8 S' }3 P2 n$ W% Y) f6 X递归法也是可以的。

, e$ L. L5 F$ K" z5 q% v其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

  t$ V1 v4 n6 D8 y9 M' X8 p0 Z$ ~

老福 发表于 2022-3-26 12:01
8 S7 S7 A9 i: o7 K: d其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

! K: s! c8 z! Y, y  o) O4 E
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

, ]+ V: }! e+ B* w+ `' d; w而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

& j9 o8 r5 E% b! w' z; gFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
( D2 M0 V$ K( V* ?# b
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
2 r! B0 o, `6 W4 K" \5 Y
0 m6 b8 }$ l2 I" UThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

9 l, D7 n) ~& x: L理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。