此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

2 x& G( a/ Q+ s7 S- G8 O4 \其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
# `+ b9 ~* F4 R$ X3 Z问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

( R4 ~: i0 r' `按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
8 e: C: d" s% r5 d
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
) U+ m! s: K- E; |7 ?( r+ A
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
' j/ g% C% u4 [3 b" v" X) }随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
9 B. {6 v$ A/ O7 e! S' h* B而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
* y+ r* t& T4 l2 o您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
* v/ d" l6 y  R1 A& O- J
: V# P' Z& \) y; _6 u/ J8 h! \- ]  hE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
- `# A5 B) k1 Y( ?  w
6 A1 I$ q! n& l6 s然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
" F/ W: ~' ]6 o" i' ?Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
8 [  k; J+ E$ D2 k
" H4 o$ G! D) Y原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
# B/ X' O1 A1 X1 E( L" [; J6 S) a' W您对答案的理解似乎有误。
! U: T" i! u5 y: g$ G3 x) Y随机变量X是测试过的元素的数目
3 l' ]9 p: c! p  c' }而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
; O1 s  _. F5 v, \3 \6 v0 F是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
, L% h% Y1 A7 W% a& @0 H; J多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

! q+ h7 x2 H* L2 N  d  R其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

+ I5 y1 f) S2 Y, s, l0 s7 f( U

老福 发表于 2022-3-26 12:01
% G9 s" C# |. J3 r1 B5 W( D其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' l0 Y/ t9 H; q9 x* ~
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
* _9 b, n+ ~) C5 i9 V3 b
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
8 O( K: n1 ^8 I7 T: n所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
5 D) E8 k5 b5 A. D  Y3 D& c
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
! w( z( C3 J/ ?! m) I
# ?# r& {; r' V& A6 uFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
0 |0 _* c6 W1 ?5 F
6 t: g5 E8 \1 n  J( @7 X3 ], jThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
( s1 p7 Q. \4 P4 Y
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。