此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
# G' c' ?2 f# X6 I! @https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
% }3 J2 a% I9 E1 z" g7 `; G+ |
5 Q- Q/ ]" q% d7 `" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

! N$ ^- X3 l2 N; z" O" H没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
0 F, H8 l3 E; C1 c- b
. B* v! Q4 a$ o4 k, u2 r: X6 z老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- M* y' q. o& k" f您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
- N) O; v" J2 T) p) N" g! p8 ]所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
, h$ v" W1 @% \+ m7 }; ?) i: _% W您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
, a! u- Z+ m5 h6 c
然后从头开始：
$ C2 Z( S' S, h5 u) KE(k|k)=1
% M% H5 z- ^4 K3 V' Z4 b: E9 U* Q# dE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
) S) s: C" |% X" D8 lE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
2 x+ }' T0 u! {* E% x* ]Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
- B8 D7 }3 e. w2 S4 ?% K$ {1 \  G
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
9 Y; \+ l' z( b1 `. x* W您对答案的理解似乎有误。
) _4 V- v2 A- Q( \5 O5 [8 ]/ [随机变量X是测试过的元素的数目
2 h* O+ N$ S: e  i5 Z( D% o7 T& d而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

: ?" C# J$ ]" R  D- Q1 w明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
1 I. O2 L- q1 q% t' h- G多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
5 \2 I8 C1 K# x; g
7 J$ [" h( F) R( N4 N1 i1 H* ^E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) T. H0 @) T  L# A0 [; z
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
- U: r# l) X$ V! d# {0 ]2 z5 j递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
5 C- f- E( M* ]) V) a其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 X6 C% x9 N! l; ?1 f7 W( T
- n6 T3 N  b: l( G( M我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
! ~: t$ j7 m- u
5 U" L* _! a1 ]1 i. {- i/ D% v  XLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
( D/ y6 p! |, {5 F4 B# L$ k
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
* x: u3 h* k: g. y7 C3 e) g
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

7 Q+ Z' }$ a# C& f) a4 bThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
) @) |( C& E' t% m' c# B! L; V
* ~( D  w2 c# n; z理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。