此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

) y- {1 a+ w: g9 J# ^8 S1 K
2 q0 t2 g+ o1 z: g其实是个概率问题。
) D: Y7 v3 z8 \! a3 s0 v; ~那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
. ^: r, J& T2 t+ N9 y  w$ u8 A' m问题就是这个人的表述
) K9 j* k/ `/ ^" Q; uhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
. W* I3 S# R$ l8 z$ ]
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" ?/ u* J% @; u1 r- `! u- }5 ^
+ i+ v4 y6 k/ D; P$ p1 U" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
" o! J* U9 f: P  [5 N; J6 S
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

0 b) Z# Z6 X9 p0 k3 L& X您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
0 x/ G/ a* @8 m) [4 P0 t4 u9 F& `# s5 H而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
4 T- T1 `1 H0 g8 ^& L0 p! p" Y5 |所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
( _$ w; _0 J+ g  f' x# ]而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
5 s% v  X2 {# q, uE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

1 b: }: Z/ @/ e! y1 m2 l原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
6 I. u5 H$ ]- W3 v' D. F$ q0 J$ Y而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

+ e4 U( A1 m( N. _* q5 D明白了。
0 q: M" N# {6 D/ R是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

* q4 V6 v# a0 Y! K. `. ~E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

( X- Y# v% w. C: C2 ?递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
9 G5 K) w! D2 A/ D递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

7 G2 L& x, U# H% H+ r/ H& O0 i
' {" P. v3 C8 J+ L$ _$ i我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
0 U# x1 P, M' \否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
- z. x5 ^  O+ a2 F! W, t, U/ Z
: n6 M+ m; O' u3 `- F% s而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
7 K0 S! x& M: t6 s所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
3 K5 B' g. b: l- n( a! k# J
, H7 ^+ E) M7 n) W2 uFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
, B  m* ?( G( B9 L
' L% J" J4 Y3 v  n4 G0 P7 M- B" AFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
9 |; O) z3 Z  m( [5 R
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

2 m1 B# W/ V+ k1 a; h( o7 c理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。