此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ Y$ M* T# C9 Y- b1 u2 k, w8 B* h其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
+ E, Q; m, g9 \$ M6 {
8 f; D/ n: m0 h" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

5 Y* u7 x3 R& r# U没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

# p3 }( B0 D  N老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
% i4 P! }9 i' W  x# `随机变量X是测试过的元素的数目
$ f  s& j/ B- ?3 e3 w, L而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
. p, b7 z5 d/ m, k7 S+ R2 r1 |您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) l5 y: ?  n5 V* z, |% Z. T$ b然后从头开始：
E(k|k)=1
# e; T/ }* G* V4 [) |/ S$ jE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
) ^+ u" l  l) [6 X# G/ T: lE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
+ h6 r* y5 o, B" k6 ~
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

& G0 S. W& \% E. K1 h: O7 m2 M明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 s0 c" L* X) N多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
& }# @/ C3 V5 N4 N% d4 R  K2 N8 a% [
6 Q3 A4 ~0 ?* a9 n( b0 j! vE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- k( m3 J6 [4 k. ?+ [1 o
- z9 Y( _! M4 D) V7 Q0 r递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
( `# L. l& z" I) s0 Q, N递归法也是可以的。

9 g1 i; u! I8 F4 ?% x4 n8 d其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

/ I! r% h3 _* b, M, I+ j$ F

老福 发表于 2022-3-26 12:01
' u- g; v; U6 L9 ?其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
( X* H- ?3 u: H否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
! Y7 i: R8 h' T  h: S
. {* n% p! j$ @) F) i而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
2 ^, H  Z3 a, Z& U
4 B8 Z; F3 T1 G3 GLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

+ y+ j3 E- C2 @; I6 O2 sThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
5 A! U8 ?/ t. u$ p' `0 }
& x% R3 d- ?7 d5 f理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。