此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ m' f* d: V! s# H! c% _
6 z& l/ N+ T2 B9 r! ]2 C1 P其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
( s: T8 `1 q7 l! K: C在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

) O. d) f- ?9 ]3 J) @6 [按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
$ Q! v- c4 ^. g
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
5 x& n( h8 I3 V3 ^; }2 Q& @5 Z1 e
+ j0 c2 B0 {$ U1 }# P2 n9 U- K老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

" S- ]! i9 `8 _) E1 ~- D
; ?1 u# x8 l, @6 j; |您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
5 D5 e4 C* h+ s( g9 |* n+ Y所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
2 `1 A$ e- s4 e2 q1 o1 J而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
& ]4 E$ I. E( U. x0 f! l5 ^- d您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& Y) N! x7 N9 Z# k- j
' _: ]# x3 l, L0 _9 s; ^, hE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
0 B+ V. @8 f: i+ ~" Q
然后从头开始：
* D% P1 L9 N9 B" x1 ?4 c( D0 y; C2 ~E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

" d3 e' h, g  _原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
# U- r( {  n( o6 A( {- Z6 g+ |1 V1 {您对答案的理解似乎有误。
) b) G0 F+ G( G随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
! z& Z- v1 N% @* B+ U% @  M/ j是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
  y: }, G, |& O) M6 ]0 I0 u多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
) e+ J; e* u3 d" i+ T$ {这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
% h' \% J! `: P2 s( x2 s! U  S递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
  y8 v+ S3 g  q) w, \6 h1 i+ o+ |: C! x其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

! A: u& x1 t6 m' C  @而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
& w# i; c0 H: u$ J1 P
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
5 I# w8 B" m) q2 `0 P% D6 g( L
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

- M" P/ H+ N' C5 Q" G% x3 {8 aFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
+ {& g) n  E2 L0 l8 B$ m" w  a
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。