此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

# k6 q9 k* D8 ~+ v1 y' V* @) ^其实是个概率问题。
6 y8 z' x" W2 U. V那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
' s- r# y7 Y& e/ S! v问题就是这个人的表述
9 a; J6 D2 I" a2 hhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
' K8 D, Z3 t7 \2 A% k- g6 }5 q9 W1 ?- E
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
7 n- f) t; n7 c; |, `& V6 D
$ ~2 I' _$ b& x/ n" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

. A0 ^; j3 p$ O6 s没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
" C' [: X1 M- y1 C# o1 z/ @
4 \4 r+ v7 E) @( x4 {老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
: P: `0 c( m$ G随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
4 E3 ~' z, [6 }) V/ m; I所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
3 ?2 ^0 ?( G' ^2 k7 u您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

4 O1 k3 |2 c* O1 ?: O3 fE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
) n4 j' ^2 W6 R2 U& v/ X) ^
2 R! k& Z) s1 }; j' t$ A! Z, p然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
2 ^7 \. V$ s+ J, Q; z, X4 FE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
- `  D1 `# S, O, I: o1 ]: a
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 u# E+ C: \/ u0 m2 `- H5 {您对答案的理解似乎有误。
2 Q6 d4 p5 P# j3 U2 W+ P随机变量X是测试过的元素的数目
" @: N2 ^/ X/ Q" W" T- c5 ~而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
0 o* o9 `% e3 k- r6 l2 }是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
9 q0 d/ ]: e$ P
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

' C- B7 |9 s  A1 J4 ^
, X! ?0 L# v' A( ^4 e# B递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

) X# W3 p4 \1 \9 f% t其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
1 U$ ?! H1 R( @& }5 D$ i其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

& g4 ~" h$ h% U. r. v. p5 y我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
: U, {6 g( [5 G1 x, S4 O1 N7 [9 j否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
8 |* }) M# V- B9 v$ e, U
' K0 K* e& t/ ^& \! a6 I* u而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
) @2 ?" t" P4 j2 t所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

: h/ ], E( o; ^( z* ^4 Y, k, ?Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
% S* |. Z8 C" Y' ]/ Z' d
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。