此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
6 G% {- g7 }1 ^( r3 V那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
" O. V- ~9 A9 x) G在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
2 `* ]; @7 v( C) s" o) Q
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
& X4 e$ \/ t' d& T9 t& A5 M
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

$ j0 i) K3 y, c& m% p. ]" Q
+ I% D# `6 Z  z- G. O# s! ~! o您对答案的理解似乎有误。
5 q7 @$ ^( G8 K随机变量X是测试过的元素的数目
# I# I* _$ i$ r) p" a0 I1 s# c而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
  ]7 t+ M+ C3 M/ G( L而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
! `) f" l7 m5 |& z您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
  e6 z$ T% M  C
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

& ~* k' p! e$ M: V4 @; L然后从头开始：
( t7 {2 `. Z" T1 _: U! Z* XE(k|k)=1
: g) C9 @4 B4 P0 LE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
6 ~* l9 n, z% PFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
$ t3 \+ Y- H0 \/ W3 C" s您对答案的理解似乎有误。
/ t3 b- `  R% ^' O) k9 @- D随机变量X是测试过的元素的数目
& l7 b# H; A) ~% w$ H  f而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

4 a, w0 L! L, S+ i$ E明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
7 Q/ }/ g4 _& j2 ^# e( c- I7 [" e! Y6 B
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

1 h8 h; @( Y# E: C& D( ]: @5 }递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
. U0 k+ u  S  g4 k) e* }: g" E递归法也是可以的。

  B2 i6 O; u7 w  V1 q8 R/ t其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

9 c! o3 g5 ^1 N

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

) H' [2 V. E2 f" \1 Q! G我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
5 b# Q- y8 V+ g0 s' c否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
& P' s( o8 N4 `* ~" I, D
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
% \* _# L; P/ \" T5 N6 z/ ~+ Z所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
" x* I# L* ^. q
" q, c9 W( G9 s5 \  Q' SLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
- w* m. |% j; d% t1 `& k
: L2 t$ W. |+ zFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

! J: P3 `: y+ }For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
* t3 o4 N6 o% G
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
$ b$ U+ C" D0 }' @, K
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。