此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
) E% J4 k. w. ^3 ?问题就是这个人的表述
: Y) X, x/ p: s4 Q( Ihttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
$ T2 w8 `6 _: s. A6 s
2 A: z$ n6 O9 R: Q按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

) Y) s8 N% e# Q; f" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
3 z- t; b5 X, q4 g
  ]' \' y  g) b' l没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
& _) j! u( j% N' R* B# A( x
+ U" G/ _/ s, H. B' u老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

9 I& X4 v' ^7 F1 W' R您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
" V' j# C; `, h6 }; d所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
) Q& m& e' W3 L. @而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
  z2 v; @% F$ ?( j您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
8 {$ ?) a  L: o# I# y) y' D- ^8 j) |
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
: N& V2 b5 }! N; ~5 Z& l! `
然后从头开始：
5 [" a6 s3 \# T3 _E(k|k)=1
8 T. |* E% m% m& m% y. S$ |E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
* X9 P$ c4 `3 f$ B6 fFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
9 G5 U  V& u' t您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
) I" m* O( m" d/ s! u3 L而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
9 ^5 f; w, r) \8 y3 ^$ @是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
. b8 e+ @5 ~) U) X$ u+ O多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
* d2 V7 H# I. \( p! D这个题目可以用递归的方法解决：
' W' p& M8 h. w' m
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ Z$ x3 T! D) x" D$ `
0 V: o" _- v' m8 e+ [& d8 Y% W# x递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' E9 \5 \) F2 C$ A0 I- j
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
6 o0 L) w  ?9 w' C
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

% ^, z. B. A; z! L' \4 b7 q# ~) QLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

, L1 j4 R/ T  Z5 e) j' [3 XFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

$ L8 D' D) ^% c1 u( G" _3 D理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。