此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

$ W  x8 [$ n8 s$ ~1 Q
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
6 }$ z8 `0 ^  \7 \6 L& t在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
& O1 D* ~4 S9 Z! A6 b" d8 V/ ~$ X问题就是这个人的表述
) a# [9 n9 Q0 @1 ahttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# s- ^/ H5 t8 f% t1 V
8 e; j& p% I* q5 |" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

; J1 b' y: Y3 r0 }. y. O/ ~没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

( E/ l. W$ n+ R, |7 p6 G您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
# V, X$ g; R) n您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
8 h: e8 l4 Q0 }' [/ }- ?8 H  a
& G0 x* b8 G" P8 ^7 W8 x8 LE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
2 s& E8 \8 x( ]- d
8 b2 j" Q+ x/ e  q( N然后从头开始：
% {5 F  v) R5 {% `" iE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
, ?- e% ?( a5 M( x9 |, qE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
4 m% b: p1 n4 z$ r% R' S- MFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
& O' }0 J' J, k1 X5 O您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
9 {0 d2 r3 w( U多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
) _4 R+ h. y' Y这个题目可以用递归的方法解决：
6 |5 f( A( D& K
2 N; F3 f2 j/ `  H# j2 M0 T4 NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

# \  K' p2 a5 l9 {0 T
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
0 }1 V1 t- o% c( j+ J4 O; m  l递归法也是可以的。

1 U+ i, @' I8 d5 j. W( H其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

( B  H. Y' c0 o  s. w# Y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
- w" Q  S. ~0 |; h3 ^' o- T1 z# {" [否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% k$ G/ G8 S8 b/ v) T* o" V
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
, a' ^: i4 C& \5 e所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
$ H" B; C. m; a5 O: ?
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

( y0 z: H2 W) M4 ?For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
; R2 o; k9 ?% ~: G' [* o
8 v# C! U9 L3 o' b  T理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。