此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

& @8 r$ Q2 {6 @) q
其实是个概率问题。
+ x: F9 m. {) G9 U1 P9 X; c# h9 a那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
- \/ H& L* s; nhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

+ G5 x) j/ r& Q. u6 p* F6 A9 v% Z按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# O  K; e9 M4 z0 o3 T
4 l* M2 v1 J, b) Q2 Z2 Z" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

8 Z+ v6 P' V# j# `没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

% r1 T, f( S7 V5 j# j老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
. X  c" h: w. L) \而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
  ~: q5 |1 @" \" f, c* i5 J& z所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
  L8 h6 z! J" p& M2 o; d; ]而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 b9 Z; W2 w- d# B您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
  v4 t4 E# }; t; I& n* `
) p. q. x! k9 Q( d& H7 b3 _E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
% g! Z6 x! w7 z! v  g' }1 b' w6 v# S
然后从头开始：
9 w2 X& N% h/ qE(k|k)=1
0 s: f* T& K* o! M& ]E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
: G+ L. c/ f5 r) k7 R( Z$ JFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
# n# V% b6 @9 U2 s* g* F8 L2 W4 R
8 f; s; b) t5 c& b, n原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
7 b0 a$ a0 |) l! B8 m而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
( s' F. l' v! R. x是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
) [4 V  o7 E0 u* }多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
, Y3 _0 N: r; l" k0 I
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

3 {8 C* u. o' a递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
. X) [! c, E, c) P' v) ^
8 d: C9 O1 _( W3 Q& Q而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
6 v5 s9 m" ^$ r8 x: w$ ]3 E8 x" Z所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
- M  b2 K; s1 e) L
0 r0 J0 O0 W9 RLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
' H' w$ y/ a' e! v9 n" U
" O) z3 V+ A( T1 SFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
) l& Q# z( e& ]7 ^$ @9 p
/ c! e' Y6 ~5 p5 gThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。