此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

0 A- i; s8 L3 x& X7 v
& ^, u' u& j" j- E4 }9 X( ?- F其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
0 ^, }* W4 k& g0 H, @0 }4 k3 I在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
2 A3 @3 c% ?9 B# ^https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
1 {- z! u1 i$ t) i
% f$ G. V( [4 R, N按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
$ D1 K$ A3 e$ H0 T/ l
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
- d6 J2 R: U+ g5 |$ ^/ T
/ o3 {3 Z7 c( A$ I6 [: L% ~! _) P没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

! X9 ?* L2 a, p9 {- K: }: B老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

/ d& |! @' X9 c/ [1 Z( P
您对答案的理解似乎有误。
* B' p! f1 h3 c4 _% u9 h随机变量X是测试过的元素的数目
# a9 ]5 n  Y1 s( v/ s9 X7 [而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
! C1 g: I; T8 E/ d) x8 d0 N您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
" E1 h/ j0 o+ {9 XE(k|k)=1
! B+ \6 X# }2 t: O, K0 gE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
4 S% O- n: h. r: x
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
3 y4 A+ L4 B, x( h& k  m7 Z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

* [6 n2 s$ T) \% S1 n' Y明白了。
4 o, m/ n6 c3 K9 |是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
0 y9 ^! a3 g4 U; l5 m多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
0 G  F5 C' K: [0 h8 r" Y& `
5 C, x  E1 A3 S5 J- ~6 P' dE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

& a; d/ M) M$ f7 \
$ K: Q5 `" w8 ]- w递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
7 F' |; E4 x9 X/ |! W. o7 [递归法也是可以的。

; Y1 p6 X' L3 Z( R$ I2 ]+ o% q/ f4 k其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

% E: Z$ v: I; K9 q5 {而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
6 g9 @7 s) j4 E" d
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
7 n( j2 M1 y3 R' E6 J1 q4 E
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。