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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 0 K. U' O2 }7 H" z$ D
    - N, e- C+ O$ U- q! w9 _+ a2 t
    其实是个概率问题。
    " z5 z0 g3 f2 D' V/ _, a1 A那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。2 i5 `) ~! C7 r* ]7 |8 F
    在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。! A0 r/ V$ r0 {& j3 a4 q# O2 |
    问题就是这个人的表述" t/ B3 R, Q8 m* r. T, G5 C
    https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    " y& R( L. g( a/ k+ n/ @
    ' U% l* O. [5 q8 o按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    8 I  g" y) p4 u: O# |3 P4 j& G5 @2 D6 I: E
    " If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    6 T" T3 X! h( O- W% j+ M, \
    ; E0 z; ~& v3 _3 z8 C5 c% V* K没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。, ]- B" J, v5 {+ G; Q

    # W4 O2 S/ B9 g/ ^  W9 _老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    2025-12-26 03:23
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    5 ]4 B' V# n5 [0 F) `/ r3 B# u5 P4 u, E3 c5 O) R' ^* Y& O- s% ?# N
    您对答案的理解似乎有误。( J1 q7 |$ v1 w2 K/ _: \4 o
    随机变量X是测试过的元素的数目! c; C6 x# q+ k0 j: T
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。: }" M& Q6 U0 d1 @7 ?
    所以才有E(x)=sum(E(Xi))。8 T/ ~( i4 @, z0 q* C
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)0 K/ m- d: V% k, s
    您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:7 c+ Y5 _4 \, v

    3 w; K8 j" i1 h6 e2 l7 c: dE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    ! P* U: \' q$ w5 @: p0 h" [" Z
    , c9 l. a/ l! M* e& m% ?/ ]# R5 n+ v7 M2 j然后从头开始:
    ) ~4 }  b/ ^* B4 \& B/ b& DE(k|k)=1
    5 f5 f. U2 H) k3 e- CE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    5 W; F9 X) z8 u& ~+ F5 q2 pE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
    ; l* q" S! k; n" I; d* I2 [Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
    + T: J" B6 N/ z" ^* D9 K9 _: f5 f) R! q4 ~9 F$ C
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
    + o' M. T8 ]' t6 j+ [& q: J您对答案的理解似乎有误。
    8 b  q9 h% C1 }1 K( a# p$ I9 d, R随机变量X是测试过的元素的数目& ~, q2 v! d. p% a0 t1 w1 J
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...

    2 }3 K# \$ `  t明白了。$ a; s. j  Z# n- A7 t/ A- |, ?6 v
    是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)% G; l* V1 ^0 b% r/ G
    多谢
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44
    * q9 _: W. Q: J) F1 s这个题目可以用递归的方法解决:
    4 q" c3 \7 ]$ l
    3 K, y$ }1 `  q4 KE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    0 C/ e2 W6 z% ^* A
    ; w5 ^( p3 x# Y
    递归法也是可以的。
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    该用户从未签到

    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07; y: T% a% g# x
    递归法也是可以的。
    / t. n' `- `0 q; D4 @+ ?
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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  • TA的每日心情
    开心
    2025-12-26 03:23
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    [LV.Master]无

    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑
    7 F( h! S0 n" z+ b/ _& A
    老福 发表于 2022-3-26 12:01% F) d" f2 M2 i6 y0 o+ k
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...

    ! \$ M2 }5 `4 h) x0 H1 c/ t  X4 k* F0 l8 E
    我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。
    4 K6 l/ }) a7 z, y/ b否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。- F* Y1 Z) Z9 S! D( c7 J7 a

    " W( e/ d: S. t8 n4 X而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    ' J) u( Q; Y: F所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。6 Z* {$ E3 E# x" K5 U9 z) \$ v
    . J* R7 d! d  J; |2 Y+ i- _8 W
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    3 b  E* \1 h: Q$ Q' n4 }% c6 n8 W' o1 [8 Q
    For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.- y' j: U: U* T8 R. i% S  K0 f) M- I8 I2 y
    * e# c; Q# l% c+ N& V1 `$ {
    For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
    & A4 a+ h7 i# o) _3 p! v( s: D; w! A1 u) r
    There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
    + T9 @% p6 M& W: v) Q
    " ^! |2 R: w* B* C7 u理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

    点评

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      发表于 2022-3-27 02:46

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