此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

: \6 v' r8 W' E% m其实是个概率问题。
* I" m- Z3 }$ b那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
6 v+ D" U0 k7 l9 J0 k4 _* B
/ u* i. x1 Y* ~按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
8 x; o0 q' y. O
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
' C+ R- g4 }5 H. G! f
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
  I; F# E9 y0 g
5 d4 |; i0 X. I老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

' u" D8 V! F2 D% m' x0 c! u/ S您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
/ o. k6 g, h; A1 M所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
+ s; Y* E; Z. c# o0 w% {8 ]而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
, B% Z; h5 G, f) t您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, ^6 q7 j! x9 I4 }9 a; F  M
) B3 ]5 r% H, W( `+ _E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
# _4 C. e+ W, k
/ \5 F! p4 @, S# O然后从头开始：
E(k|k)=1
3 V! P* X* l' A9 R: ~E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ o; t( Q7 K, k% t( b# `, XE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
( v; |& k; G+ T7 `Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
% e4 j% i# F( p' f6 a
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
/ p6 S$ V# N4 G  n您对答案的理解似乎有误。
' I3 t* O  h# \1 n* `4 S3 \7 l随机变量X是测试过的元素的数目
* t6 _$ j6 X) B: R0 u  F: @而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

" v0 n# V, {# B, O( n明白了。
' P- P  Y5 e7 }" D5 G" q是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
" W( C! M0 G4 e多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

" G! Q6 y* O4 ]3 U& N7 Z递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
" Y) I% i9 a: m/ b. R递归法也是可以的。

9 [! a2 d6 }6 H( p其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
9 q" f9 A5 E; ^! n) S; U( n$ e其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' b. ]2 }) G! b) x我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

- k+ {9 z4 C# o  o0 L+ W2 D而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
+ M$ l! p% O$ B) O  b% Q; c! n
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
$ V3 M1 n1 r4 J( s
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 }" l6 H5 i' R0 ~5 i
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

8 {! l; B4 f5 G" MThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。