此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

1 B; C5 A1 q1 s1 F7 Q+ q5 e
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
4 Y" z4 N6 Q& g9 M$ o: }4 t% Z9 u6 L在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
, M* q9 v6 D2 W6 [( N3 u问题就是这个人的表述
6 F4 h$ ^# ?5 {  ~( Q# \https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
2 `- w$ c. Z1 a- ~5 Z1 C
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

; D$ k2 e: u/ }6 i, M- n6 M) S老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

, \! n2 H- C' B0 Q4 t# m" x
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
9 V, L4 F' f- U/ M+ e您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
& B: S. N: h  c- \
然后从头开始：
, t3 i) d+ l2 @( [2 A' Z( d: Z* w0 t0 b6 oE(k|k)=1
2 u9 L2 R. M, y! `; x9 s; o/ U, ]5 uE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
) T! b0 b. k9 ]* }4 s5 I. [E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

* u# {6 t, ]# U$ f1 w" \# ]+ ?原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
( F' g) w& P( e/ w5 Y是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
, O4 q" L( ~2 k' W" R" r5 S多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
; k! a; m2 Q% b  Q5 l# _这个题目可以用递归的方法解决：
% ^' m& g. W/ H4 R; Z
! y' P' ^) y4 w4 @. q8 g4 k0 aE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
& |. \/ F; L, k2 Y递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
) O; U/ ^7 a/ h其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

3 W0 Q- S2 }/ h; G  w我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
( G1 h- C# p4 _  g1 C/ Q否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
& j  x, a$ p, L1 V# P
1 w$ T- Q8 p8 [# K而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
/ j4 M# f- F. K9 J所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

4 `+ Y# h, r8 S& w; K; xFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

) J5 p6 W$ D% m( GFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
/ [" C% G  m3 {$ o% c4 U1 |
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
- \8 P0 F* q7 y! a
  D8 r8 I, l' k- X- \0 V  q' u理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。