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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑
    0 A- i; s8 L3 x& X7 v
    & ^, u' u& j" j- E4 }9 X( ?- F其实是个概率问题。1 t" h0 n* T' V6 G. |$ l
    那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。
    0 ^, }* W4 k& g0 H, @0 }4 k3 I在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。9 C. ?& @$ z  M. M
    问题就是这个人的表述
    2 A3 @3 c% ?9 B# ^https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    1 {- z! u1 i$ t) i
    % f$ G. V( [4 R, N按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    $ D1 K$ A3 e$ H0 T/ l) z3 E, B% P; B6 W, B% F( y- Z" H
    " If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    - d6 J2 R: U+ g5 |$ ^/ T
    / o3 {3 Z7 c( A$ I6 [: L% ~! _) P没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。0 C3 l, g# F" ~1 C! T3 O

    ! X9 ?* L2 a, p9 {- K: }: B老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    3 天前
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    / d& |! @' X9 c/ [1 Z( P. N: m; F/ N. ~/ \% V7 W
    您对答案的理解似乎有误。
    * B' p! f1 h3 c4 _% u9 h随机变量X是测试过的元素的数目
    # a9 ]5 n  Y1 s( v/ s9 X7 [而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。; X4 e5 e4 }1 g3 K  b" U# u8 \, {
    所以才有E(x)=sum(E(Xi))。. o3 p2 Y1 j/ k+ j- g5 A6 w
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    ! C1 g: I; T8 E/ d) x8 d0 N您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:1 n2 z# p" w0 A
    9 R# V  j+ U9 T
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1): P. j6 [7 g( z& o
    ( M8 ?7 C% W& L
    然后从头开始:
    " E1 h/ j0 o+ {9 XE(k|k)=1
    ! B+ \6 X# }2 t: O, K0 gE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1). R' e( I/ G' o7 D6 q2 C, Z: W% X7 K
    E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)+ D7 G, |9 d5 ~/ x- n
    Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
    4 S% O- n: h. r: x+ e! x; ~! x6 l! }' `2 ]
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:322 h" C9 c; L6 ?( [% J
    您对答案的理解似乎有误。4 ~' N. o* \- `5 V9 r% Y, A
    随机变量X是测试过的元素的数目
    3 y4 A+ L4 B, x( h& k  m7 Z而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...

    * [6 n2 s$ T) \% S1 n' Y明白了。
    4 o, m/ n6 c3 K9 |是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)
    0 y9 ^! a3 g4 U; l5 m多谢
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:441 c2 ?: H% x8 r! S
    这个题目可以用递归的方法解决:
    0 G  F5 C' K: [0 h8 r" Y& `
    5 C, x  E1 A3 S5 J- ~6 P' dE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

    & a; d/ M) M$ f7 \
    $ K: Q5 `" w8 ]- w递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07
    7 F' |; E4 x9 X/ |! W. o7 [递归法也是可以的。

    ; Y1 p6 X' L3 Z( R$ I2 ]+ o% q/ f4 k其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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  • TA的每日心情
    开心
    3 天前
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    [LV.Master]无

    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 ' Z9 O0 l2 b4 ~. \; B
    老福 发表于 2022-3-26 12:01  e! d& n& a9 O/ n
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    1 r( ~% G: P) l+ b/ d/ ^* c4 Y# J; V
    3 |8 b8 `; E  K) f. j
    我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。7 r  M$ n) l/ f. K
    否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。$ K3 {: p/ T) _8 E4 R; h

    % E: Z$ v: I; K9 q5 {而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。8 w  K' [+ B6 G: W" q
    所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。3 J5 T2 `( ?3 O9 j* c9 s
    % n5 A+ B$ `0 j& r( c7 t
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    6 g9 @7 s) j4 E" d4 {# V# h( p- C: e3 M* G0 f
    For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.& T# n* R% Z: J8 _  h3 L. |" d/ s
    & x, N% N9 Y  b" L( z# p
    For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1)." A0 _7 x  W  z  ]& t  n8 U7 o
    ; N5 z+ u: z, e) c& p) [3 Y
    There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
    7 n( j2 M1 y3 R' E6 J1 q4 E  E1 k% Z2 |. d6 l5 {+ {
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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