此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
% q6 r) w' e- `0 S& K. L问题就是这个人的表述
( ]6 R: }0 k( c7 Fhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
. H- S$ Y" D$ h1 w
6 O' O. ~) @% p: e按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

# C- A+ c. X' f7 t" G' F3 i7 K" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

4 v+ |" }, A# \3 G. k老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

  A/ ^0 F6 G; A. p5 c
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
" E$ G2 k9 Q1 N1 v5 o# x' a) k: q而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
: U7 l3 J; _3 E$ n而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
) D" ?* j2 j6 o3 C6 Q! c! u
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
: x7 z: j" n7 [. M3 Z& L1 O
5 s- ^! g) Y! v% T然后从头开始：
E(k|k)=1
3 M% l# m, p) w0 t" c; @E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
! N! i3 C* e& X2 C4 O( h2 I$ W* m) FE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
/ Z- I9 Z8 `* M. ]Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
5 C! d1 Q" _2 F: A* F9 `( Q8 p
9 U# c7 N1 f' N! q  _1 `原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
# m" T# @* B+ o  [; g) h& ?3 ^您对答案的理解似乎有误。
, O* k2 n7 U$ `随机变量X是测试过的元素的数目
) h/ K( b* I# s5 m0 ^而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ l! i, ^( a& Z" W& }
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
' }2 X  D7 N# o3 k: o- z递归法也是可以的。

/ l6 c: ~& H+ M5 I1 O其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

1 H/ S3 U" {2 w* M" u6 S, k0 C$ m

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

) t! j9 k) ?/ t! E
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
4 Z+ e+ U! V' q% c否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 s! Q/ o& V) J; P, N
' r) J. l& r3 [3 a而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
2 f; A2 h6 q# E: R+ j( {所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
  B$ S# g% g6 v6 W$ Z+ u
$ Z( ?) _( O# m7 Y0 C) x5 j! I2 cFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
# G; y% n% y' ^" i( h- F8 Q8 m8 I
6 G0 j" P5 u) h6 w0 t2 f5 y; kFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

, {8 f3 v3 i) J4 F% kThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

; E$ V. v8 B  A" ^" _+ [* d9 E, m理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。