此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

8 z% D7 t# e* T$ v, `( R其实是个概率问题。
+ Z- X, _! z- s( C# l: D$ Y那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
* K) P7 e; V% a# r& ^! p# yhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
. R) z1 O6 q; \* M; j9 ~
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

& f$ @( X/ V* S" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
8 k  A! q8 q# f- |4 }
! D9 ~3 i" X7 r3 O老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

4 H0 L( A2 r3 Z1 `$ a: ]
& f$ p) j  V& J. m8 ^您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
4 W! ?7 M' X( P2 o8 H' c- D5 D而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& W, c& e8 T+ S/ D1 V5 i5 z" `
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
" R: {8 `( n  C& x2 E6 D
然后从头开始：
E(k|k)=1
) D. A1 d  K* w" k3 C0 v2 @* cE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
1 G5 u9 J' H: T: f# K; B  j, mFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
  c3 ?# [0 c6 F. c- R
5 R5 l& T9 R' C9 ]5 W; n) }9 ?原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
5 g6 e5 P" \" N0 f. J9 t/ D& {- S您对答案的理解似乎有误。
% c% B0 v8 R. ^/ ]& O8 `随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

, C  R& a9 w( M$ r2 a5 L" `2 {明白了。
* P9 k9 L1 k3 x7 P4 \0 [- v! ?是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
# P( z/ \$ M( O; G# s0 b7 V多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
) ?% |5 M, S+ |7 B: n! F3 g3 _这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- ~6 m7 g+ W! g+ d! I, M, X
1 E  h! ~7 F* O9 a' c# W( x递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 Y" O. L4 C% o+ B4 Z递归法也是可以的。

. O2 {- F: m" n/ d" S! V+ i其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

8 {3 C. m# B6 d9 k" V( z

老福 发表于 2022-3-26 12:01
7 I1 K. [4 Q' z+ v6 v5 v! ]其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

. }- ^) k) {! h
: ]: Y2 p. ]9 w4 \9 I) Z# d7 u( A我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
2 }* B1 x! D# X否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

2 y" b! `& c0 T8 ?* @7 E) V; U+ c; nFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
! h* S* Z7 u; s
4 e! h2 |! p2 S( Q理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。