此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 t7 O- m/ f( U
7 G% n/ k" s! f/ b6 o6 P其实是个概率问题。
$ |8 \7 B! x1 b9 d% s. X: F- e那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
7 F( M5 D; s) K4 j- W# G4 w在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
' F8 \; G: t1 _! z问题就是这个人的表述
( v7 l  B; E9 j3 r% B( i* ahttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
" ]$ r$ L0 {! E4 o, f
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
6 i; j7 u% b4 Q
: s3 I- Z* X/ F3 `6 d3 p" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

2 M/ k  t! y2 H没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
, g7 T! \, _$ O7 u8 v
& B6 c. p% G7 ]3 I# N! [% m老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

: X/ \& E8 p3 {- N) h7 S
您对答案的理解似乎有误。
0 k! ^1 V0 B: e! F随机变量X是测试过的元素的数目
: U* D5 @: R" s/ i" o3 E而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
6 t3 C* Z0 U/ U6 f而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

- L4 x& B" B- |. z7 u% aE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
" v; L  E6 O. Z) T" a& R: P
然后从头开始：
E(k|k)=1
: r0 g" u( |0 D  `7 d4 ^E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
" V- |* W& g; D  ^3 ]# Q% e5 w6 g' e! }5 rE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
! n  ~0 h# F0 J3 q& DFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
7 c* I* x, R# c8 h! Z
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
$ g( a1 Q, Z6 R随机变量X是测试过的元素的数目
( z4 h3 t! V7 @3 j而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

( r8 n. n3 t" c' q8 L明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
4 C- |- y! Z  V, h- D/ L多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
% l+ R; j" v% j# [& r4 T" H; o这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% |0 f( o- w, [. Q
# P% C1 D+ f/ W3 ]' m' `递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

3 c, n/ A' Z0 M1 e
, a* ~+ _& n& h  m* C7 s/ E我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
* m& m/ |; k* `8 a否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
; w. N  S" O# N
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
4 r( O3 c% o, y7 M5 X9 P/ Y1 }% w% K1 |8 x
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
8 D" i3 _3 D7 f  z: U2 V
4 m& E# \$ h6 i& t% S0 RFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
  h! ], V$ ?8 j+ X
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
' I! {  N; }, Z8 E% g& h" S* l+ G
$ T" `- b7 ~3 L8 V) D6 ~+ h' ~There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
9 I  Z' o* ~) d( }
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。