此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

3 a: n/ P5 T% ^0 @( o) G; F8 v& N其实是个概率问题。
3 c) e% f7 ^8 Y. T那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
* ]9 t: v* d: e, f3 U5 w8 U6 K' D$ X在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
; x) t- |; `3 a; ?https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
  L: j/ u2 K! G- {! h1 h# J1 x( m
2 S9 z8 Z) d7 C5 |/ s! k按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

* v0 x6 E4 }: c8 e, L. u" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
+ m5 L0 ?9 ]  l8 d- e3 J- Y
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; a$ W+ F' _9 a) ^/ h9 t1 D) {( W所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
2 E' D: ]* a# |) b/ t9 f而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
( J) p+ X- D1 I+ h7 E5 B' n您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
: R; p: W" H+ s# X+ }
! [5 L) |3 K7 F# [/ b! iE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
2 g' Y9 ?0 M6 W8 G; ^2 q7 ~
$ y) F/ D4 V9 p# i6 m然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
/ f$ o% E7 N, t4 l, K8 `E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
" k6 o" f; k- [- d$ N+ [随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
8 A7 V& @6 g2 q( r  C- p5 J. s是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
% k# `( a- A" h. u! l) _多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

7 A9 x; Z! A  w, ]E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 ?7 q! o; o7 F  e8 \) N
! S7 u3 D) h) B  |; b递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
  S2 y4 M$ @& V递归法也是可以的。

6 f* a5 R. t$ r; N其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
8 j9 j/ b, u+ ~& c1 V, U& K其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
9 ~0 F1 ]( B; N; g否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
+ Z* J! c  m( f所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

: z2 k0 J& u) S/ W7 R. j9 MLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
; b3 k% A; S- z3 a2 y0 y
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
2 E) z  }/ [% M# @; }' b1 ?
0 j/ r7 g( s) _; _$ o; j理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。