此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

% B; X# h  g! |) C
其实是个概率问题。
! [* I+ G0 g3 J0 E6 M! K6 B" m那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
! g' N. l. ?2 P* t5 Y在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
' E; F! g- v7 K- ^https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
: I8 I/ J5 G) _/ r
9 w- i+ E8 V) K9 E" \$ j按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
* V. S: P! s1 c* C# r) u
, f. S8 N" f8 A2 U8 C" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

3 Q# r3 L, H# I$ T% x9 u4 T+ q# E没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

$ [! N7 v. ?' L+ e老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

  L0 v; H3 h4 n( ^: P" _$ w, Y. Z您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
7 s8 g  r- `" h3 @" T' p3 Z. Q所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
1 d' b0 ^' v5 q0 o1 f您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

6 k) I% n2 @2 E. c; WE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 q# A( H: r0 T! W! D' W% V( h) L然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
6 U9 C3 O; g2 f% M# {E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
/ Y. }% \1 w$ [6 g您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 W( g& c9 W, |& L' c) U6 p7 F而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
) q  S1 Y5 k# @是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
8 D; x! x% U  o$ w: J# p4 `6 ]这个题目可以用递归的方法解决：
1 @8 H; s# m2 M. G0 R' ]' T
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

2 o7 c! }' R5 a* k$ k递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

* @1 j/ y1 s, q$ ]9 l/ _# }

老福 发表于 2022-3-26 12:01
" K% a3 G' w( e4 d其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

; f: ~0 M  N6 D; A# h. y) i我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
# }5 Z- ^! k5 d7 V( ?所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
6 l* e$ E$ P  `) W
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。