此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
; c' ?5 a3 T* v8 |那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
( {7 r! Y5 i/ a/ |  h问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

0 F: }5 ]& L7 V, v0 ]- g! Z1 C没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
, f. Z. V) r( i/ j7 I, y) R; u
  R* Y4 P. N6 t# C老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

: {" b* r4 R. f. s2 }" a0 V
您对答案的理解似乎有误。
& U) B( @. _' r  T) c随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
* @: i4 A; L3 y* U) y9 ]8 |所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
4 l  |. K3 _! f# c+ I) m" u而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
7 L) y. l% Q( r* U. ^- X; ]0 F您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

$ _% a6 S) q4 _4 m7 J* u9 y然后从头开始：
; J% l0 o* U' F' G% T* Y" d$ dE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
8 l6 [) ^' N$ V# Q3 gE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

, q. S/ f; h# F- }原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
* I" ?$ j0 C6 g您对答案的理解似乎有误。
; P! D# f. O' \3 q2 [1 I8 a随机变量X是测试过的元素的数目
( E. `4 \' I3 U- L4 s8 p4 w而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

7 ~  y; X" g' b& Y- E" e1 w$ i8 {明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
' b  ?$ Q+ t, L* m0 m6 t" I这个题目可以用递归的方法解决：

8 A! T; I- C" \% O$ k# D* bE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 x0 Y) L# |- {1 X" d$ O( z* k4 G递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

' H2 g" n# H7 L$ E1 D  ~7 G

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

$ J$ P! |! ]0 u5 B; r# |6 n% ^
) P+ |& b* z# |# \5 A2 x' L我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
& K! r/ K% h+ d5 z) ^1 F# S% s$ v
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

- B0 |* Q  q: D- r8 m' WFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

% T6 B- W  m. ZThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
8 s: @8 j) q# [: B: H, L0 F
4 l6 p% O* Z5 G0 X- r) ^$ b理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。