此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

2 @1 Q% L( r" |- ~
% j" q* b; R  W# n8 Z# |. m% i4 x其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
: R5 F  f" M, h1 y% v$ \+ a在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
: K/ R5 Y) _- B: Hhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

1 S% W) y* j: x按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

6 |2 f, ~3 m9 H; w6 r- E5 w: f; i" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

1 ~9 g4 x* `+ E7 V( g1 Y. H没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

, ?, u. W. i2 V. E! m老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
! x2 U6 e# C3 [. J随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
( P8 v1 _# k$ Q而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
3 Y# r* v* ?( m) G, w' {E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
' _- b$ o" n" BE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
) Z2 Y* {+ ]6 Z/ s. @8 {Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
0 ]; |( R3 U' n+ H您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

' N- A( q/ M9 s/ L. n* K! A8 ?% G; x明白了。
/ V" g: L: J) Z5 r& X# W是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
' V' s: N. j# m* S/ }" w/ q7 K这个题目可以用递归的方法解决：
( H! e0 Z2 s5 F& B
; U( O5 }7 E2 m* s- Q% a1 Q' |E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

! s# g, v) ]5 ]; Y. g$ g
4 z  A/ o  k6 \; G递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 [$ s1 e& u4 `7 f+ C递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

7 s2 [# C. |% T0 n$ J

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* ?2 M  \: L5 i我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
/ E) O. N4 F5 V+ L$ f% P否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

; G  S4 f; {0 T  G而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
! C3 U6 G1 _% e. J/ K
! z, o! w9 \4 g5 GLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

0 l0 H2 C$ b! z6 WFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

, w7 U" N3 h5 l# F8 @+ A+ kFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
* X/ ]7 E( {0 K# s8 Z' e/ g/ f& O
3 N8 o, a* `' @0 jThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
. q: h: F( e  N9 L  t( p% c: o3 K6 `
6 Y' ~# k) a( {- p, Z* A; P理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。