此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
, {" K% e  f" Y3 O那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
1 p3 F* b# Y; K7 @4 l; g在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
3 t, s1 }% t. w$ W* k- t" C% U问题就是这个人的表述
' w, v: q5 r. _' ~- f1 Q9 Q; j' @https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
% L. e& v- U" Z! B7 S9 |7 u5 I. D2 S
; O/ M2 L7 l$ q$ K( T( |2 |按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# P% u4 p/ }, X, N* t. h
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
! y% f& M1 b" M3 n2 v
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

5 Z' y. s! ?' T& J8 l您对答案的理解似乎有误。
4 w* y: a8 a; u2 b( `" I随机变量X是测试过的元素的数目
3 \! L/ e' o$ N1 n而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
$ f) V) T( R9 d! a' a所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
1 u# S" P- X7 l7 q您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
9 G% P0 M" G3 Q: ^
然后从头开始：
: Z" F# i2 ?& T0 g+ `E(k|k)=1
4 L  z, o1 Q2 a  x0 Y$ l  W/ DE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
: N0 `1 G/ L+ W# i4 jE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
( y1 Z: h" X' gFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
6 S5 w# _- c" }6 Y# g& o* V2 {0 ]
) f% T8 e2 ?, ^3 O6 m原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
9 O- m; C9 N6 c. Y; A% Z" f1 J+ L' C您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
! w6 G7 }2 o' C! w" S. b; _而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

) P0 c% v1 d' Y3 g6 W% w1 N2 a明白了。
6 f. ]/ l4 V3 M5 x* ^  M2 t0 v2 ?是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
1 l) \/ m" M. z" J多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
/ j$ U9 D' A8 O7 u6 P: |; i
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
' Y3 Z3 a& R% w$ ]- D. x7 e递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
. i% b3 B1 X0 i6 U. Z其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
$ Z. f& h: _4 V1 N- @
- ]# L9 k- e) r  l3 n* P* h) h0 cFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
* v! z. T1 W: q/ d0 L% O& N
. \+ U  L4 p! ?8 o- V# f2 hFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

+ W9 \) R' j" R, m' QThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

  t7 ^' Y: C. n5 `' q理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。