此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

* h* Z: x7 l9 v$ `: J" ~  h9 `
  g1 s" d% q5 q其实是个概率问题。
& b& m! I/ d: @8 _  Q那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
/ B% _) n8 _/ ^: W/ l7 N在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
9 I& g) |: M( q
. H2 j7 B6 l3 a( T" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
6 r+ V6 ^8 f, v! ]! G
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

9 p  s  V0 ?+ t0 w5 U3 n3 ~' v" s* F老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

* x1 w: m" z" U  l  J
6 o; G9 x+ w8 A9 k" N; Q您对答案的理解似乎有误。
) Y$ z4 K5 f4 V& E随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
) ]) v$ J* E6 y% e2 [& B" x( M( `而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

8 y6 Q6 e3 d+ k- D$ Y5 sE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% [( [& K& d- P  {" J: f, f然后从头开始：
E(k|k)=1
( P- w( c$ a9 X% x. u8 @# ?5 u" CE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
2 ^" o9 }( t' wE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
. _" l9 {/ Z: O7 a4 r$ f; q
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

9 H( g" D! E+ y. d0 s8 V7 S, E明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
# ^2 ^5 q! o0 O5 f9 c& Z, I: n/ `多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

! o6 e/ f+ Q+ w- V# U: q  _- ME(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

2 G# ]) Y) C' v& x$ F1 F5 I* f7 h" S
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 o# A( A# B4 x9 e# w4 J! c) J递归法也是可以的。

# f8 y; L  s9 P) x6 u: a) r其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

; p2 X6 B3 ?' g8 o( m! ~

老福 发表于 2022-3-26 12:01
/ X' I1 _- U; c2 K1 p% w+ Q0 i" C其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" x/ e! _- v" w0 Z) Q& W我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
. H" [6 [9 c9 h5 }" c
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
' D; m* k* B$ w1 A# z所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
, ^+ ?5 B/ V& j1 L# T
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
) U/ m$ t: w% Z7 F. {- E
9 M  B- \- o0 p* ~9 R4 K" lFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

% ]5 U0 D% ?: y- I1 y3 z4 p; QThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

$ K! x" q- i+ a( C  P理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。