此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, b( h8 o6 u; r: X( D
其实是个概率问题。
) A1 u2 \- i  X7 ?! R' R那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
9 \& |  d; ]; L$ B
, V/ q# c& q; i1 ]. @" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

& a6 \! h2 q: f5 e" I没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
- ]8 F( e7 ]( o6 A0 Q- m
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

0 ~8 Q/ J$ E3 B
. b8 C9 U! x1 h您对答案的理解似乎有误。
4 r8 k9 U5 M; B, O0 |随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
- x0 K' _0 O: f- z而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

/ g6 `' m1 G7 E2 K2 P5 u# S然后从头开始：
! S7 @4 j* X/ ?E(k|k)=1
* Q! j+ a- k* m( ME(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
& T1 o! x+ D4 q. [. e0 ^: d. mE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
. S$ \4 Z- g, z1 N" K8 T  n0 _
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
# g3 c) `+ C% r% y2 b( J. C是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

6 p  P' b# d2 _7 e/ h, p# a" P  fE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 f6 X2 d$ v( q8 T0 R# j递归法也是可以的。

0 i3 z) m; Z/ x4 j& A' H其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

, ]9 g+ a# ~; D3 X! {) F) N

老福 发表于 2022-3-26 12:01
8 q3 Q( e+ V8 N$ V/ T- }其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

. Q6 l: j3 h2 |5 J% @! N我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
. R# |- e" b, K否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
! @/ J0 _5 M$ h% e2 j1 R
+ w" m7 C# t3 z" g4 M' O$ U  U' p而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
7 S5 W: j% ^6 m: Z7 q( Q
7 @. \6 X* Y# D, CLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

: a7 ~3 n( l& x" K, c) iFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
0 C5 Y( J( J& s2 e# l. M
) h3 G) p( I4 S2 P. O0 g, YFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
2 @8 [+ U7 K) |9 D  K" x% H8 ?( u
' P* |; p/ P3 p* K- T/ g" u1 N5 eThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

, z. J) R" a1 t$ ?; x" T) J理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。