此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, s/ Z( U5 q1 P* J4 i2 ?
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
( \0 C, J% g: K( d3 D1 N+ U. Chttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
# p* O' G) k% V$ i
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
7 N( W1 w/ l7 \5 c$ q) \
6 s7 F. [: v* X5 y: Y! S没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

, `( j/ S2 n8 d7 r老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

' L4 R; q$ j7 o1 C' ^3 Y
- L! C2 E; Q$ k% p您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
8 ?! S) A; R) ?, v4 ^4 S所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
& b- C& u" ]/ _3 q+ k" f6 K5 C  r您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
4 P8 y0 k9 `" \/ W. L7 f
0 f- z; l3 t2 Q# G8 NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

. X" r+ Z* U: Q: w然后从头开始：
E(k|k)=1
8 r! }- u# U- ]; g+ ]E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
. }/ `7 D1 m" Q, qFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
2 O5 b9 K& i2 H) A5 k
& G2 _0 Q# U" }& f; O原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
) r  r9 L( R4 J. w  G* s) J) o. M您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
5 ?; ]& [; B6 |0 g* f而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

( h/ E( w! H+ G明白了。
) a- {& Y/ S, t% T是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
: \0 \" y0 y- H7 r2 i& q多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
$ I/ D4 G3 s3 s7 w, B$ @这个题目可以用递归的方法解决：

# r: e/ N, ?' T2 ]2 M# \E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

0 b' g5 M& ?* S  S6 j
! a: H/ u- g0 u5 f& f" ~$ d* k7 H我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
  G4 L1 S6 R8 [6 `0 o( r+ P
% I7 C0 Z- f+ j& Q$ o1 F而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
, O6 Y* [) A  c
5 ?0 }/ e0 r7 r" q0 ZLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
4 c1 \+ y2 H- a' A
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

) ]. n- C6 ]4 I+ X  `There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。