此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

  ~" L9 R, p: Q# M9 u4 s/ j" Z) @) P
其实是个概率问题。
9 c  {1 {  K7 }) g/ h那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. C- s3 n; M7 F  N8 ~" c+ C+ f在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
2 X6 v6 H- X& B6 ]7 q1 a/ T
% i% |2 c' B/ @$ }按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
. V, g3 B* H9 C7 r- C; B" E
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% v, r# g7 a9 D# b% g$ e6 r您对答案的理解似乎有误。
& ?+ J' v# c& m- I1 R随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
# K# D6 e6 V- E8 [7 R而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
3 d% I3 m2 n$ t
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
% p& E% R9 u: [
: |8 \0 V7 t$ l: l然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
. D' d) M, T9 ]5 T. N
. W1 S+ `1 A0 u2 Q) J原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
# k+ w) e! O& U& |4 C您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

& d9 R8 o6 F0 m, j: j( U/ S明白了。
2 L  O/ M3 V0 a. T2 H0 U( J8 j9 d是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
2 G: r8 n. x5 V% A; M1 H7 D多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
" L( V4 v5 D8 |& B这个题目可以用递归的方法解决：
( u9 d; Q7 p, z& [; \! Z3 R0 v
. R% y, `0 j1 B' ]* A+ V3 CE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
8 K1 q$ W5 C2 B* d$ o* U' s, n, E0 x递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

' y/ X. \4 A, s# {

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

. J4 @0 Z4 ^4 w+ M7 {  I) v; g
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
; c- r* [# A: q1 z. O3 E否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
6 C( g6 E2 ^) v8 e" ^2 M
& B1 d) d; _  _  e8 ^而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
+ {% o8 ^. Q! v5 I/ [2 W" W9 h
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

8 d  `. u8 m% k  ~0 NFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
. I' Z3 w5 r- {# L) I4 u, Z( e
$ x5 [* u' }' gFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
& `" A* q  s" V' [; W% {1 w7 y
3 T! p$ q) W! ]There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
5 O$ p4 J4 S& B3 Z2 N, m/ z8 a2 D
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。