此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

' A: v1 ^2 y* {' p! C( w其实是个概率问题。
+ V$ X2 Q- S0 p% r9 k+ I那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
! N7 p8 ?. h  z: f3 Y- Z% i! f问题就是这个人的表述
" o4 q+ @1 _8 b% B9 V# Rhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
" ?. C; l6 Y$ F, Z
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

. E3 _1 t/ M0 U( @$ g( @没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

4 |- ~5 z# S! i! D1 B
5 E' b+ o( ?7 j7 [; P4 e您对答案的理解似乎有误。
7 [! o- J# i& h' M7 M' ?随机变量X是测试过的元素的数目
* S# j% |0 ^" s- Z, L" T0 L$ ~, `. G而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
9 D% b: c9 x% z9 u9 F, }* F- f所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
1 {" Z) d7 K9 H$ _! n! R! n+ y而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
8 L) O5 F* Y! _( p0 E0 ^
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- j; h+ M1 @! U- ~8 ?6 R然后从头开始：
; }6 D& Z+ g. z3 L& pE(k|k)=1
( Z& d7 Z% O/ M! a7 c! RE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
& i9 N; Y( L5 X# M, l/ p, t% gFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
" I+ r- b7 q" s8 m您对答案的理解似乎有误。
& ~( k9 ]3 R# B, r* l; U+ l9 h. B随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

/ B& y: B- g1 m明白了。
/ M! @  {; w9 Q- b是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
0 Z! @1 V: _( q; |$ @+ o; B3 ]多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
. X1 k' h( n) G' b- B! @
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 S% [+ g0 Q# D, e% {- [9 c2 C" J* ^递归法也是可以的。

  N) v: C, x- \6 }: q' Y) `, k3 n其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
9 `9 q' j: z' w所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

  w) |$ ^4 S* C8 y; v: e3 jLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
9 B6 ?: j2 q8 z8 u: ?$ f5 o0 U3 I
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
8 L; C9 N$ Z' X! @9 t$ G- J9 [
4 a) m  _0 f# D  y; {) ]0 \4 wThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
2 p7 L* t2 y8 ?$ b; `. ?5 r- m
4 V1 u! M2 l% m理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。