探讨数学与自然科学的关系

不爱吱声

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    数学（包括逻辑学，几何学等）不能算是科学。

) W0 F) x) o$ E) h- V8 R    数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。数学本身也并不具有描述自然的功能，描述自然是科学的事情，而科学是使用数学作为对世界进行解释描述的工具。这可以算是数学与科学的关系。
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/ v7 }$ H' D6 s7 \8 ]7 A$ [, n    我们大家都使用过工具，我们干不同的活要使用不同的工具。比如说，我们希望将钉子定到木头里，那么锤子就是一种很好的工具，如果你使用改锥效果就不好。同样的道理，当数学被用于科学的时候，也存在一个适用性的问题。比如说，大家经常提到欧式几何和非欧式几何。欧式几何的第五公设说：两平行线永不相交；而在非欧几何中，此公设不再为真。那么，到底谁对谁错呢？实际上，他们在数学上来讲都正确。但当我们想在科学中使用两种几何的时候，就分出“是否恰当”了（我还是倾向使用适用性这个词）。在牛顿力学中，我们使用欧式几何描述空间，因为欧式几何在这里更方便；但在广义相对论中，我们就应该使用非欧几何（黎曼几何）来描述时空才更容易一些。在广义相对论中，物理本质是几何，因为这里面重力已经与时空弯曲的曲率直接联系起来了，换句话说，使用黎曼几何的好处是，我们可以让理论更简洁更本质，这是我提到的，科学最终追求的是简洁普适。这里我强调的是，数学是科学的工具，工具本身没有对错，你用错了，那是你不会用。这样看来，使用数学根本不存在信仰问题，不是说你认为鸥氏几何正确才使用，或者你认为非欧几何正确才使用，而是到底哪个管用，哪个顺手.
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    在科技史上就有一个有意思的现象，数学作为科学的工具的建立往往超前于自然科学的发展。比如说，黎曼几何正是早于相对论多年就已经建立起来，然后被附之高阁，大家不知道如何使用，等到相对论才体现出黎曼几何的用处来。这个与真正的生产工具如锤子的产生稍有所不同。但实际上这也体现于数学是工具的特性，就是工具可以是“当前无用”的，但不代表“永远无用”。你现在想钉钉子，改锥没用，但你不妨把改锥放到一边，等你拧螺钉的时候，改锥还是用得上的。这也正是数学家工作的真正意义所在。他丰富了自然科学可使用的工具宝库。

    此外，数学对于科学来说具有工具的特性还可以表现在：做同样的事情，可以使用完全不同的工具。比如说，你钉钉子使用锤子当然是很管用，但你也不妨使用钳子，虽然钳子并不是设计来“砸”物体的，但钳子的重量大，也可以用来“砸”物体得到锤子的效果。在量子力学的发展中也正体现出这一点来。大家知道，在波尔建立原子量子模型以后，德国一位物理学家海森伯，直接从光谱的频率和强度的经验资料出发，在1925年提出了矩阵量子力学。而另外有一位差不多同时，或者稍晚一点，奥地利的物理学家薛定掷，他改进了德布罗意基于波粒二象性的物质波理论，提出了波动量子力学。矩阵量子力学中使用矩阵数学作为描述量子力学的工具，而波动量子力学中则采用更为大家所熟悉的微分方程作为数学工具。美国的物理学家费曼，他的研究不仅证明了矩阵和波动两种量子力学的数学的等价性，而且又发展出了第三个等价的方法，就路径积分量子力学，从这里我们也可以看到，对一个物理现象的数学描述，他的工具与方法，也并不完全都是唯一的，至少在发展的过程当中，它也可以是多样性的。

8 s" i7 i$ G- x' ]9 u" u8 D    我们提数学理论，更多的是提他是否严密，是否自恰，而很少提他是否真伪。

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我爱莫扎特

青方 发表于 2012-3-30 09:46
7 l; Y# @1 [( u8 _看到这里讨论数学，想起2008年的一篇博文：

最近看到格致里的一篇博客，题目就是“数学是被发现的还是被发 ...

3 _" f0 @& D4 P+ t+ \数学和逻辑不是一回事。有“数理逻辑”这门学科，不过大多数学数学的都没怎么学过。

数学证明必须遵守逻辑。（即逻辑是数学的规则，要遵守规则）但大部分重要数学成果的发现过程都有“非逻辑”的一面。

我爱莫扎特

作为学数学的，给领导同志捧捧场。

8 V/ k7 U( O+ t  T. V数学是自然科学研究的重要工具，当其他学科有需求的时候，数学发展会顺应这些需求，得到有针对性的发展。最典型的例子是二战期间，由于军事的需要，美国和苏联的数学家发展了大量有实际应用的数学理论。

但大部分数学家研究数学并不是把它当作工具来，他们的研究更多的基于自己的研究兴趣。而这些凭兴趣的研究也不是“异想天开”，而是有着它内在的发展规律。

5 X8 Y% L. N0 w" l2 n以上面提到的黎曼几何与广义相对论来说。我曾经在西西河写过一个长贴（可惜没写完），大致就是讲黎曼的理论和高斯的微分几何可以一直上溯到古代的勾股定理。既然勾股定理是测量空间距离的定理，那么爱因斯坦要测量时间和空间（把时间作为第四维的空间），用上黎曼的理论是再自然不过的了。这个广为流传的故事里没有什么巧合或者运气成分，只不过是两组不同的科学家通过不同的视角研究了大自然的基本性质。
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% j0 `+ q) B0 j2 |9 ]类似的例子有很多。比如物理学标准模型里有大量的抽象代数的应用。数学家在创立抽象代数这门学科的时候，很多人对这种奇怪的理论完全无法理解，但稍微深入的了解就会知道抽象代数是研究“对称”这一自然现象的最自然的工具。那么既然粒子的世界有那么多奇妙的对称性，不用抽象代数才怪呢。
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还有概率论。70年代之后蓬勃发展的金融衍生产品大量依赖于50年代发展出的现代概率理论（尤其是鞅论）。这很奇怪么？一点也不。如果稍微了解一些布朗运动和泊松过程，就会发现它们完全是为金融市场量身定做的。而鞅，即Martingale，在英语里原本的意思就是赌博的术语，能不用在金融上么？

举了这些例子，无非是想说明，数学作为一门独立的学科，有它自身的逻辑。虽然数学不做实验（这点上其实不尽然），但与其他自然科学一样，它的发展最终符合大自然的逻辑，所以一定会与其他学科交汇。
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tanis

坛里没有学纯数的上来吱一声啊～ 貌似数学科班出身的乍看量力都不是很顺眼。

烟波钓徒

数学是不是自然科学，你说他是就是，说他不是就不是，取决于你怎么定义。所以结论是，数学和自然科学没有啥关系。我想惟一的区别是，自然科学这个概念在数学里没有必要存在，数学在自然科学里确实必不可少的。

空山小径

路人癸

数学是自然科学的基础但不算自然科学，哲学是社会科学的基础但不算社会科学。忘了在哪儿看到的了。

darkingwing

我就是抱着搞科学的目的来搞数学的，虽然我上大学的时候，连我当数学教授的老舅都看不出搞数学有什么好的

高歌人未老

数学是否是科学这个问题好像不同人有不同看法，基本都要归根于要探讨科学是什么。 就描述自然的角度来说，我个人倒是觉得几何学、数论这两个应该可以说是用来描述自然的。几何有很多种，虽然公理体系有些不同，但现在存有的几何几乎每一种都仍有其适于应用的语境，如欧式几何之于普通生活中的度量，黎曼几何之于爱氏之相对论。而数论也是，自然数这东西虽是人们抽象出来的，但其存在应该可以说是很自然的，而对于整数性质的探讨和研究，不正也可以说是对自然所做的描述吗？
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6 q8 R+ F4 X1 e) A窃以为，数学有其工具性的一面，但也有非工具性的一面，而大多数的第一流数学家，我想都是被后者的美所深深吸引的。

baogesj

我们这种排名30左右的学校，大家对数学有点放弃了，就大学3本书的水平。

gordon

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% n+ ~4 H; f3 q' u5 b, K: L6 i' A! m9 g欧几里得第五公设的历史典故是值得细细揣摩的。

　　平行公设（parallel postulate），也称为欧几里得第五公设  是说：
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　　如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。
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0 g- {* e; l2 i" r. X% O7 C9 c　　假设所有欧几里得公设成立的几何，是欧几里得几何，当中包括平行公设。不依赖于平行公设的几何，也就是只假设前四条公设的，称为仿射几何。

6 i- a; l  N. p     没有仿射几何，几何不突破平面的束缚，大航海时代就是不可思议的。
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     立，立的牛逼；破，破的有水平。

gordon

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青方 发表于 2012-3-30 09:46
看到这里讨论数学，想起2008年的一篇博文：

最近看到格致里的一篇博客，题目就是“数学是被发现的还是被发 ...

数学最早来自数和形，这个就是直观，数数，识字认图；
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后来工程经验加了进来，例如勾三股四弦五，再后来就把逻辑推理加了进来，毕达哥拉斯定理的证明。
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“勾三股四弦五”在中国的提出是在《周髀算经》，但是有文献记载的对勾股定理的证明，是三国吴国的数学家赵爽，其实勾股定理这个叫法，非常不合适，还是叫做毕达哥拉斯定理合适。
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欧几里德的《几何原本》是演绎逻辑体系的集大成者，后来是花剌子米的数形结合，算术的地位得到了正统确立，代数取代了算术，韦达的《分析方法入门》认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，韦达的思想是一个必然的结果，因为毕竟都是建立在欧式几何之上的嘛，思想来源是一样的。


    几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展几何学的贡献。

4 [* ~5 n3 ~! u; e    柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。

    但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。
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* M8 C! C9 _' |    欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。

( p% E; f, y1 |: U% r. d    《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设出发、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
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: `) M/ B- s- O      而一个不懂逻辑的数学家简直就是不可思议的。

其实 “一般化” 说白了，就是已知结果求条件，  所以数学中才有那么多的猜想，比如自然科学中一个结论成立了，如果搜集的知识点足够多，那么我可能就会把它一般化来扩大应用范围，我可能会猜有一个什么什么样的条件成立，可以推导出这样的结果。
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然后应用就很方便了，如果符合这个严格条件的话，就会得出我期望的结果。
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这种研究方法产生的原因正像张声语所说的现实条件太复杂了，所以我的结论只在我的前提假设条件成立的时候，才成立。
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所以克莱因才说，重要的不是认识世界而是改造世界。
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( s' z' B' ?( _3 z& k  W这也是神学和自然科学的不同，自然科学的目的是认识世界，而神学的目的是为了改造世界。
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! \2 B  [0 e" y% _“凡事开头难”，所以欧式几何能把经验总结归结为5条前提假设，是非常牛逼的。
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青方

看到这里讨论数学，想起2008年的一篇博文：
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最近看到格致里的一篇博客，题目就是“数学是被发现的还是被发明的？”因为最近看了些数学书，感觉数学一开始是被发现的，属于“朴素唯物主义”的一部分，后来就参杂了很多发明的成份，有了“被发明”的意味。
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! P* w4 p9 e6 Z2 K, s0 u8 p- {如果抛开历史，只看一个孩子的成长过程，孩子对数学的认识开始于对数字的认识，面前的玩具有几个，得到了和拿走了几个又变成了几个，这些都是人对生活相关事务的一种认识，数学可以帮助人们的认识更有条理。以后解决复杂问题就需要更复杂的数学，例如盖房子，出现了运算和几何的概念。所以说数学源自生活，源自自然，开始的数学不是空中楼阁，是和具体事务相对应的。

之后随着人们认识世界的深入和更多的思考，也随着其他学科的发展，数学逐渐脱离了“朴素”的阶段，上升到一种更高的境界，Alfred Adler给数学的评论是“数学是一种纯粹的语言，即科学的语言”。我对数学是“科学的语言”的定义非常认同，其他的科学，不管是发明也好发现也好，都需要用数学的语言来解释，来进行逻辑推理，来思考。
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- _( P! Z4 L0 L0 r2 ]1 n我的同事，一位老教授对数学的简要且片面的解释是“数学是一种逻辑”，没有数学观念的人很难搞好科研，因为缺乏逻辑性。

1 `, {1 W: _  N0 |3 t所以一定要学好数学，尽管我现在才意识到数学是多么重要，什么时候开始学都不晚！

晨枫

张声语 发表于 2012-3-29 05:52
/ {6 y( b, u3 e统计不算在内，比如振动声学的基本公式推动基本都是用大学那点高等数学就可以，振动里面的Statistic Ener ...

那看来数学方法印度振动声学的时间还不长？

gordon

: F. L' c! Q1 ^& D0 Y* Q( L& d神学为什么会被引入现代科学研究？这是因为神学在研究“上帝的存在性问题”上有大量的积累，

& v/ s0 r0 Y- }. e所以就把“存在性问题”的研究成果引入了现代科学研究。
9 U! ^( v( x: X6 Z4 E" w# A
  d: C1 c- |! h, q4 j) ?" ]- p不爱说的，“理论更简洁”这个就是神学中的奥卡姆原则，“如无必要，勿增实体”。
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/ P' @) `- }6 y8 k; h( j) s  ~

张声语

辛常诚 发表于 2012-3-29 19:25
这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗 ...

- i% D: `7 ]9 z& U) S2 [统计不算在内，比如振动声学的基本公式推动基本都是用大学那点高等数学就可以，振动里面的Statistic Energy Analysis是近现代针对random vibration开发出来的，也要基于这个高等数学公式推导之上再加概率密度函数这些东西。。。

辛常诚

张声语 发表于 2012-3-27 18:58
' `9 v' m( ?3 E: e( |咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。

& |$ f7 \% l$ X" b4 Z不过我老板和 ...

( `" {( X: R* _- L5 [1 ^这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗

辛常诚

数学确实不是自然科学，记得网上还有人为此批驳过不爱，好笑

gordon

$ ~/ W4 r& D% L" L% L/ V8 \
% i9 |: U  p0 @0 I' o* T, _基于数学形成理论(theory) ，包含以下四个步骤：

8 y6 n0 w4 q* {) T) S" P    (1)特征化研究对象(定义)；

& Y. |3 V) }  ?+ ]0 @    (2)假设它们之间可能的关系(定理)；
- v  r+ Z6 {* M$ `' M6 F7 ?
    (3)确定这些关系是否正确(证明)；

    (4)解释结果。

基于实验科学方法。按客观现象的研究过程，包含以下四步：
2 {" f2 Q/ g( D/ n$ }9 D& V' d
/ x2 m2 }. s" H5 @; w- [    (1)形成假设；

    (2)构造模型并做出预言；

8 E7 Y( [- g1 \7 F. t: {6 t    (3)设计实验并收集数据；
4 g/ L) X  Q1 K3 K2 s
: {1 T4 Z4 n3 _2 `1 F3 f( \7 Q! X    (4)分析结果。

6 m7 [* \: u+ F- u! w  W' C" F    科学家们希望，当模型的预言与实验结果不符时，这些步骤应该反复进行。
  g! X, c: J7 r8 A, I, p. c
  A% q: x+ R: Y4 H' a- h作为一门实验科学，自然科学的预言或者叫做推论，和数学息息相关。说白了，其实也是逻辑，就是我“先验的认为”或者假设，或者叫做“抽象成这样一个模型”，我推论这个模型还适用于其他自然现象，然后用实验验证。

就爱抬杠

数学是抽象的，而抽象的能力是进化出来的，教育小孩子的时候，能有比较明显的感觉