我理解的拉普拉斯变换

可梦之

4 y( e5 n+ j8 p" l) Q
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
6 [9 x/ R& x& a! T7 p
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
  Y$ k6 W" [1 j) g
& ]! m5 w' r3 v) `0 F/ x" I电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？


6 Y( J) G1 x' n4 M4 l( o
( V1 s/ F9 H4 o) ^* s2 V; ]/ F翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
, b* Q5 m8 _* f/ z, t, h, O( u0 z
- w; p# V3 V5 n/ H* r$ x# H. I

7 f) o, \+ O% F$ L6 s不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

3 _9 x( E# S3 U+ T) g' @

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
  p2 N, l( D" B


5 f8 J2 l1 o7 R6 {4 X7 L傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。


$ l. `3 ?; P. ^5 Z: c: r  I
9 n6 O6 D0 i( v8 f$ V' F: }指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

1 m" H9 q; r, o有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
; m+ h8 |5 T8 C5 M' D" h又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

% I0 {7 c1 k5 s7 a) n/ s$ x$ {对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
# h" Z1 }, u- R9 [2 ^5 d, f9 s高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

( b% L& b  E: g6 P% l- h7 m0 Z对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

colin1992

高手就是信手拈来
' ^+ O6 L9 H  O9 F以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？