此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

. D% |8 F8 L/ x8 d7 L其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
* w5 t1 S, r& p8 E0 M
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

  p2 e6 o% j3 l: @" s& N* O" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
6 a) J$ c( h) w1 Q2 A
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

) j- J: n) e  k7 R
您对答案的理解似乎有误。
) `4 ^% q" I5 d2 _6 ~5 @随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
1 P- Y# R/ S- [6 R
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

4 n9 E6 Y) q  k* e然后从头开始：
3 A/ B0 j) C/ n- e- S/ pE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
# Z2 I2 s6 h! P9 t* {+ aFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
0 Z! `1 c; J  T
/ v9 I% v8 D: K原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
! X  s3 X# s/ f# ^0 Y: ~而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

  R% w1 Y8 J, t3 R明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
- {. g% j" I6 c8 Y2 [5 \$ o# ]$ b多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
5 e( j8 v3 K8 c# D
+ T( [) J; ^/ q! WE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- k* S1 ?2 g  |' g$ x递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

* r: i; k. y# G# ~: ~  s1 U% k. Z

老福 发表于 2022-3-26 12:01
3 g# v* k) o  Z2 R2 d1 ?其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 G+ t" d. A& O6 Q( Z6 U
+ B% d& p* U3 i& p我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
3 B% Z" a1 |! L% T$ m: p* ^$ ]否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

. @. c9 ~, q1 \2 C! z! f/ U0 F而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
7 Q9 |4 i/ X- y* G所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
( p  Q* P0 h% _9 \$ W
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

+ H* K+ P6 s3 [, VThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
( D  N5 v: r! R" X  B
5 m: D7 B: }* B" e9 V8 c# K理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。