此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

: F+ t7 [$ n2 i4 T5 ~其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
7 l' V& ~; ]$ F& o/ B在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

, Y# d, ~; P7 S7 X0 W& S按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
! ~/ f7 W' l" ?
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
7 I3 l& ~" P: H' X# K8 f
1 R+ T+ `' Y; a7 V4 U% L, o' d没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
- J' p0 n# |8 B2 y3 L6 L而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
3 `* s- n$ d# V, V1 o6 E您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
3 S& m. ?; ]8 Y( \* V# S9 {3 M8 n
+ Z8 f# \, H1 R1 s* l- c+ PE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
: s% l1 \. w0 B) F) s# l' C
然后从头开始：
, a4 e" ^6 y* q2 W" \  m% nE(k|k)=1
6 w1 U+ G3 Q' T, j3 CE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% b- o" m( N& i: X) ]E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
: L: w9 `- w) V$ b' X您对答案的理解似乎有误。
( f/ z: r; L' v随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

8 |& Z0 j5 T2 H7 ?7 N2 j明白了。
0 {8 h! R0 t& e: W* E+ H是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 n6 L1 W: q& V; h! p2 M多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
* T, u" c; m% @6 L这个题目可以用递归的方法解决：
4 ~/ @# u- e  Q% n$ ^
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

4 o+ A% m% H3 B& v" |! Q" O
- W; X  n3 V4 `, n# G递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
( }6 O- |8 g1 w8 a( r, i递归法也是可以的。

2 C2 o# K: ^3 M3 ]3 \其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

2 m9 r% {  p5 R3 I( E5 U

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

) t& E! `2 ?  `, L
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
6 s  t$ a" G+ q8 j5 `  S% b) ]
! n/ E) P: z* Y0 m) ~而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

5 M& v, a6 j. J( C  ?! `Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
, R& D3 X5 p2 ]0 M- t. q
( i! G# T% t: a$ ?- MFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

: b" f3 E: H- E$ ?8 n9 e. RFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
( X( O3 j+ L; p! q- E% ]
# {& m0 f/ x! Z# D6 L6 T- B" PThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。