此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

' x! D$ g# h; X4 Q) T) J9 \* h5 Q  z其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
( @3 @* ^& q* |- F2 I# l; }在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
$ G: c6 w- j1 f- Zhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

8 _6 ~) {) p  H) A按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
$ G7 I/ Y, _) N' M
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

. f1 A9 b. j; p# R2 L没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
8 ^! O8 R( [& w0 k! h
+ Y, Z- Z( a* s5 A老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

2 z2 B" u/ u% U  Z( R6 h- g
您对答案的理解似乎有误。
# `8 E, `& D6 v+ U随机变量X是测试过的元素的数目
! G) g  Y$ k5 k而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
. q5 P2 s7 d, d7 I所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
2 @+ P3 N& B% g# I: O
5 w+ S" |3 m( [然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
, F6 A8 h9 ?8 ~, T1 A( P* c, X5 TFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
5 h+ z; J( l* d2 w2 A
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
. A' _+ m1 C# r: v: j随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

/ Y7 r9 x6 {( B6 ^, p( k明白了。
5 e2 g  e( O# Y9 G是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

) ?) `7 @# t3 v0 u' |  OE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

1 m- X8 a) P+ I. R
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* r5 z3 G* ~: L) F7 I/ y) d6 K# m
& c  N, V1 r* B; S3 s) }& }我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
- G+ _$ ]% _6 t* B5 a* I否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

4 m' m/ Z( i( v0 _) E/ K! L而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
- g; E' {+ ?% }7 O9 z( U# M$ g9 @
5 [+ G( b) C3 `Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
) @- r. s" z! ~2 c
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

1 ]1 U  q0 b! M理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。