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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 . G/ E1 {7 Y( c& E6 b' m
    8 I6 w2 |1 d7 S7 `/ z# v
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。8 x0 _' n: Q8 R

    ' ~) A( q# y( s众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
    : F$ K; {3 F2 j' T# B5 N+ Z; B# }. V
    4 [9 u" |# d) `" c6 g, q电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?+ U6 e% y. {) j8 l
    ) m, @! l, j7 D& X5 A. Z3 d
    $ ~: l( d3 v$ N2 B4 b4 T

    7 G+ s8 f# R/ c- w翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:9 ]) ]" r6 `. G1 l9 @2 ?9 Y4 N

    - o3 o$ K9 f8 F3 x0 C$ g, R
    ' J7 ?& h& T4 m( w' ~( i
    6 R  E# R6 p5 A8 H0 m' w不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
    # g! b$ z6 o9 M; ^
    " J/ J, Z5 p$ C7 E3 Z2 I7 s! B
    7 n9 t! n) F  R6 ?' C- C/ @7 B) H
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。* W' J$ F9 \# k4 p" P9 U

    ' c0 k( }7 d3 G2 z" G; B$ I
    $ b9 J% ^) J1 J; |6 K& |4 ?' \: Q( F0 [7 c9 w
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?) y. z( J* y/ x6 P" y9 e& \/ O/ E
    3 m+ Q( w8 R6 e+ ?! U
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
    & }3 N  Y3 ~$ V- c. c. }+ G0 U, a
    $ u+ b, O: \# f7 f; w* s, x; V* L: {0 r% ?
    " B5 _% W  X$ H" ^
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。1 e& n# O6 Z+ H$ e
    ( T% B+ j; k. v  z
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    19 小时前
  • 签到天数: 1651 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    * s" g( ]! V- s- w3 w5 J以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:059 ~  L0 _  v/ H8 g* X& p
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    ! M% B7 K# @7 C( s/ w; t; c' m3 N对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    19 小时前
  • 签到天数: 1651 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40: p+ a0 g3 t$ i( R  W) C5 Y
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    4 C, o0 [) n4 g9 \4 ?* O
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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