此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

2 o5 m; D: ?9 \. |. u8 j1 V
$ s8 `5 j$ Y: E2 v6 ]& L其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. e0 l/ X, S$ n. b% w: b7 @在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
3 c" ^' ?% Y7 I  N1 V1 B问题就是这个人的表述
+ m1 |/ ^: j- B& Qhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
* n+ R: B5 ?' s" E# ]# C
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
7 K- n7 f# n1 [! a. _/ Z, L6 @
/ h" u' o& V+ @" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
/ e6 w5 k( u" |, b7 v' c
$ f. ]% u: {3 g5 @6 f没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
" T% R0 m" [5 U1 e/ ~
/ D0 t/ f- c6 c- c, t: ]0 s" ]老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- ~' b' T1 A- G8 L" K" U
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
2 w% k. z# M5 r( [2 J0 e6 I! t; w而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
* E& z4 u7 q8 D0 K8 r所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
) Z5 y9 M( Y6 o" v而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

2 y/ G* s1 s# g2 z( _) i/ s6 vE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
  J2 p* Q9 L* A& B/ |
' k$ J; [7 t: n4 Q7 m$ G! v7 S8 x原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

: s6 ?6 X7 c$ T明白了。
2 |* g; K, u$ i$ g6 O& y是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 ?8 |, ]5 K5 c' z8 z' N, @" [2 y多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

( @* a; ^* P: u) eE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

$ _3 F* r5 D) ^# w8 t
9 r5 c+ y4 I  A, G4 ~9 D$ F递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
; f1 [/ ^# x5 ^/ @' Z' B$ a递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
, {+ ^# y% A; r/ I7 \9 L7 `其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

# g/ f7 ~. ]! [( d1 j. m/ E
! N6 J6 @( f4 z% d+ G# Z" z我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
+ O( r) Z2 K" j否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
8 s# @; j- u$ E: L5 j$ U: {
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 g' g7 l( _# s
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。