此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

% K. Y  }  v' b6 u  H/ K1 U+ Y
其实是个概率问题。
3 l, B/ E8 b9 [- O8 d7 e8 `6 D6 f那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
8 B+ R6 Q! d1 ?: c! E& ~  k在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
( L  F0 N  u1 ]4 D
6 N+ b, p8 N* U; M( p$ Z; M按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
" n+ J! c. |4 [5 y/ N) w; C, _. R7 w" q
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

2 ?5 k2 J$ ^# ]" A; D2 L) W
  G. s, T) B8 [! f% b; T" X您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
# g2 C, B+ S/ R1 `' s. ~所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
" o, a2 J2 n  w. I而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
6 \) U+ m% P5 f& P7 W1 b您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

9 b& ?" ?; a& T+ O+ n8 U6 @E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
* Y3 b0 ?" L$ v# ?, `
然后从头开始：
E(k|k)=1
" Y. ]4 }3 D$ ?5 E( ^1 @E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
6 c, C/ e$ _8 X' y4 e2 [0 \6 jE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

, m( M" O5 T+ W$ I6 f& U原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 d. E7 e- R' i您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
) X  F6 g' ], }$ h7 p! S% q而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

$ J5 s4 M: L- j7 B明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
/ `( ~; r! K" }# j多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
3 C  {: ~  E. k. }
$ r: ~6 {! P( v- J! s2 [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% ^& @; z- }* n( c- \: z
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

9 L& v$ S3 a6 @8 A/ O& x其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
2 @/ h8 C) C. X0 e8 r其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 u- z: L: I- P( R我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
  Q5 M, n+ {  Y6 _; z7 R% e否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 b/ B0 o! f. t
0 E2 t6 n% ]8 m7 U" s而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
. g, W( n- Y# h$ c* B所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

( O: i# ~5 ^$ i, S% D- `Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

$ Y& w$ ^; X7 ^7 P4 p+ e5 oFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
4 t  p9 B. f1 Z
' z  v  n& S9 `! aThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
9 I+ x' K. V/ k# K
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。