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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 0 P9 S& |8 s9 \/ f" T* R! U
5 E5 ^; [% l6 y' i, ?0 A  m
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。  c- F; i5 R* t) c* G
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。8 \7 `* X9 }" r  h& t/ w4 o$ ^9 Q
& ^* G8 ]6 q5 `4 p5 V
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。: _7 r7 G9 B8 i
  n# t% t( I& a: u$ ~- Q
一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。
5 @! ?/ b$ h, x9 w: I6 K: a4 @2 T2 X3 v
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)- b6 H& c# S) ^  n
% `# Z' h3 |% t; P5 t. K6 Y
所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。7 c% c5 D/ S8 m, m" J# [9 H
* Y5 J" ]! P. }* s
那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
, i5 n/ F" [# @4 g4 K( c2 x3 z4 ^1 J  c( M( D0 g. A6 `$ k
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
3 R0 n+ h5 Y6 R5 n9 O& E

- p. G& x& C1 K0 R" a( Q6 |4 W; C1 z2 a1 c" ~0 t: i6 {- Y) m
量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 7 y* u: s; ]8 i8 _1 G; Q9 r
    - d) Q. m0 w9 m7 n: Q: |
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱) G2 r$ l+ j4 @1 v: x+ r6 m1 W6 z6 q  e

    ( ?/ e  |: I+ E* N经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵
      c( Z* O% ~+ K  I( j! V
    7 `# A' y6 O6 g) J理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系1 Z+ m2 W8 G8 b* r, z
    5 |! ]! Z% D! j5 m
    外行人瞎说的,别当真
    6 U4 s# X' k. t8 C9 ]" ?  c- p( |! U+ A) ], `& \

    3 T# x0 `  Q: ^( E0 m, ?

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    7 y! q0 A" x+ }这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...
    : ^" N  d" P$ \: X  s
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    + z7 H7 O# F/ P$ d$ r1 E, s% u效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~8 s* v5 ]2 }; P6 {: Z6 z, `$ w
    你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?1 }# g4 O# T3 B9 m1 l
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

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    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 % N2 @* c' X* c! T" u7 v5 m1 [
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    # {3 v% }  S$ h: q效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    8 p- P' `" g( F你的意思是marginal ...

    % G7 Y( U* r# Z7 J9 Q# t9 {就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。( \5 M" x1 W$ Z- V7 m. k

    6 \4 C, r; \; z( |4 ]1 N这种处处不可导的utility function真的用的多么?

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    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 . L+ T  F, {" ?7 z! [, ^5 [/ A# |2 t
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱* ]6 ^# c0 M& P! C0 P
    6 n/ i- V8 v- ~) z1 I# |
    经济学又有点像理论物理 ...
    " s+ [  W$ V! d1 Q- @; v
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。- f9 |7 B6 p7 T6 m3 f5 ?
    不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

    该用户从未签到

    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 . B: j$ u( Q/ T2 Q/ |4 N
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    " Q! P. u1 [! F; k# B3 c0 z, v& H. ^. @1 G# e$ S$ Z
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    3 C$ \6 `" L* b* D2 W8 n
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。0 \2 }8 n8 o8 ]6 q' p5 x) V
    因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    1 o. _9 V/ r- M, X- A  r几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    + Y2 `3 }' |( O: N# X, G% N4 V0 z  s: a
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    2 U# X* [6 L. d就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。( d% s; g  X* a7 G

    3 \3 Q+ q: s  J这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
      _9 P6 w# N$ P
    你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。
    , Q$ t4 f% H! r
    8 T! m7 T; N$ Y4 u3 m* `& b3 R5 Ehttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory% [  G- h7 X: G: ]/ y

    2 i% c7 L+ W7 h- L% F. n1 y6 o经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    $ a5 K; k# J! S, H2 I" x) x9 }$ C
    4 b" y% k5 q2 }- s6 Q9 Y

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

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    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 9 f: J, X4 W* t  L5 s
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱5 E  D, _3 T. m6 {  x6 Z

    * `( u/ g0 C0 q( d1 H9 s6 b6 N经济学又有点像理论物理 ...

    8 @3 w+ i* T+ q# W' m1 E/ t经济学还能挣钱的。
    % x2 ^  R. c: }+ u- E9 q
    $ {: d: ]; u7 h7 F7 Y, M# T- @8 Q  {9 Y* y+ N4 A% N
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~9 Q% \# @5 h& Y/ R' m
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。
    ) D7 r% d) N! w! g3 B术语上来讲,叫calibration。' b6 j. b* n4 O5 U# s  j  {) L
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    + ?. p/ n' P' B/ z4 j6 o
    ' m/ D/ d4 |% Z0 _( _  \上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。/ z- O1 f6 \: t7 P
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。
    ; q( |1 _5 u4 x( f) x——计量的方法。: T* Z$ L- M4 h$ v) C3 J3 c

    ' h2 J6 @( {* L  J8 r4 g; ~计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。6 }; E3 p, o# u* h* H. h4 S

    * d0 J# j! X; ~  B' I下面我提几个问题,8 i# l  [' t5 l3 p
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    $ M) Y/ _% p( N9 e再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    " {, c! g1 f0 g5 ]再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?0 C6 c# \$ T2 s' p- O/ B8 L, s
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
    , l1 r* a' |+ K* @6 a3 ]术语上叫做regression。# ~- {' _$ ~0 F' U- c
    而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。8 a6 v4 @5 o" ^" \) W' s

    / t7 ^: g& {8 |最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。
    + z. R1 x7 {. ^/ |. D( j2 p) i* Y每个观测到的数据之间是否是独立的。
    2 ?% I! i# r8 A: {. Y. |: b' Q比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。
    0 y- O7 r1 {* y6 {+ K  z* {这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)
    " Y8 C) g1 X% H: U( n! v0 b8 K" Y这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。
    . x1 i9 w& d. |4 ]+ R
      O& @. G) `! x! \; h7 G  Z: o于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。
    ! v+ S2 [3 s: f7 m  Y0 h. |这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    6 V1 _- L! z. C. y0 p4 M5 x至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    ! ^! [+ l9 t- x" V1 U1 g* }3 E+ W8 `) L* n8 i0 L; d# n9 N/ |( J) M+ ]
    经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ; Y! X0 Z: n4 t下面就要来说说“量化”了~~
    3 b$ l4 ?7 l- G# @( h1 K( j3 g. t对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    & \0 l1 I; P) P0 R5 P所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

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    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    & q0 Y2 b6 y/ S' w% v4 ]/ A8 V$ r1 T效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    / E* y$ P, |6 W3 Z% g% b3 a+ {- F
    这个我有个模模糊糊想到的问题。/ E- t2 d& S9 @6 w
      k: K5 \7 ~# I# a- x5 E1 ^. |7 O
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。% J0 a& G; }) J. l: m: C0 y

    " I; i' S, j2 Z这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

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    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    3 W7 f$ u. G3 a5 b: Y: a- [这个我有个模模糊糊想到的问题。
    " {9 L, x6 }7 i) T! V/ K1 c" s1 D# y8 n& m
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    : u% }. j6 r1 f1 ?万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。/ A# j( X. f) Z- t

    ; |+ q3 ^4 l* ]6 B: k: l多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 4 b, X, K  r6 F+ O
    下面就要来说说“量化”了~~& L# ~' W8 N8 E/ p4 h% W* m; `4 `5 [$ k
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    5 h& g- Z8 M+ \3 O; I
    Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 + P  I; i  h8 R5 w1 y7 m
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    2 |3 B4 R9 {4 [2 h3 L# B9 H# e这个我有个模模糊糊想到的问题。; C7 A& C) U1 x) a% w, r5 }, K+ e0 c

    5 z# G% A6 r% R- Y比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    6 Y1 X" w  E; L! J0 S, J( [
    7 F7 L  B& E& f$ f9 n4 K: d+ d由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    1 L2 h0 m2 ]4 L) b( f/ E0 ^9 Q5 i! Y) A: X& G
    金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    + g9 K; {* u9 K' B/ s! z3 s0 v
    4 M* ]; f* B6 [6 W& H: k, i金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。3 _% f% I) j8 Z! O: j+ h! j
    9 K: ]9 g7 f  {, f5 e0 X  x; J3 h

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