数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

( }) W3 N" s. L% y经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
9 f$ P7 p0 v4 R* K! a6 r
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
, |4 S5 ]6 R3 `
5 t( m, }3 e# h  c6 Z0 ~" l' g4 k. {一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。

这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
' P+ t! B  Y0 g" G5 P7 |. T
; H3 ], z, Q  m9 P& N4 i) E所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
' E# K. h) k) Q+ C+ ^2 c# x
7 ]% O6 W! g9 R( A) f- K那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？

0 ~8 \- [( A0 k* A, e# s4 [9 j1 `问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。


1 _+ \% c! ~" y) }& w量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

* y+ c* ~, G* }, D: z" L3 D' [
( ?5 R( T3 A3 k/ x7 A; Y经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
6 N# F9 @3 |( |
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
  I- l. b9 L. W  `  [' F9 S9 S
- f% X* Y* f! h; ]  q理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
! U1 Q0 R. q% Y- L7 ~( V' ^5 @
外行人瞎说的，别当真
$ `) s: S' b7 s; A

假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

+ `' d( h8 K9 n7 v6 z# U9 X收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
* P2 r& u& \7 O# K6 k6 u; D你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal ...

就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
7 i0 ~! t8 x) i, r$ G2 F, y3 j% |
这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
4 x/ }  e" D5 W( `4 O经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

$ V4 @1 O1 s* b9 {4 x$ a' \. H经济学又有点像理论物理 ...

嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
# w' L2 q/ `, N# u4 R不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
4 h2 X; ~  D. B! p就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
6 K4 q5 V! p. k3 F4 t
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

) g) v; A- c+ V7 ?  t
; x6 w3 H- E6 i; U+ u4 v) c所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
( _7 p+ M% q( r6 C8 m就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
( s# G* f+ n. t2 w. h
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
! U1 m" O( \1 z, O) x
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。

* l) \6 a7 N! H  Q1 Z

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
; t9 G: C! L0 B& d. q# Q经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

经济学又有点像理论物理 ...

! J- t) j- T4 `9 I( L经济学还能挣钱的。
* `9 g/ R! `$ A; A  A

理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
术语上来讲，叫calibration。
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。

上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
; h0 h4 p/ Z+ n4 q$ K* q% p% B——计量的方法。

9 E) W$ f9 Y' P# r* N计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。

. F  w2 U- `) h4 L4 b下面我提几个问题，
; ~, }# d* P1 \' ^7 Z) O3 W: J比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
1 Q# }7 X; x5 U  |6 C  ]再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
: K6 h" {# A9 N$ h; c7 Q& B5 j这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
# U! U! }$ J) i. I' C2 b9 o术语上叫做regression。
6 t! ?+ g3 c' a9 I而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。

1 f2 x( X) I% ?: x5 V% Z* G) x最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
每个观测到的数据之间是否是独立的。
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
" i- L  w" c7 z$ Q2 M这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
) P7 e# n, \; [$ r5 Y0 o+ R" w- E7 X这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。

0 B# K: M+ V# j8 w' P. V# U于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
$ {- v% Z7 I0 u2 _$ v, b+ U至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。

经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
( P% L- a/ _# B/ @% p下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
+ |; j5 B9 |4 D. J5 I效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

这个我有个模模糊糊想到的问题。

比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。

这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
% R3 h  `' A1 h) `" r# P- |$ a. p1 y这个我有个模模糊糊想到的问题。

比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
: z) R6 ~' `! Y( U$ J3 t
1 S& E6 o% |4 K/ z$ P多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
2 q+ ~. B+ l. C) E下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

9 |# b' e8 d2 h' T; U# k

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
# u" v, v7 A8 ]) j$ N5 }) R
$ [* H. R5 M$ s/ P3 z比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

. C5 C1 ^2 k! t% S$ a% X由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
9 C; Z1 o9 J4 w- y) `+ c
6 x1 X: p1 {. B金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。

金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
1 ?5 R% g; b7 g+ ]
+ n7 P2 F! H0 p6 I( ?