我理解的拉普拉斯变换

可梦之

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2 j8 }: z- I1 X& |最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

; U0 |' G2 _3 n! W$ \众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
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1 L5 I+ m. g( R" C' }! t翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：


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: D. G* |$ @$ q不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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( {6 |; }( E: _+ n8 Q8 l
( C6 G5 V* b. ^( T. G" p
2 I. a; f/ e( B( ?: \数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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9 `) j1 g+ u% |' N$ I8 E8 _1 S" V2 S

傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
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' F: X- w+ b7 e: P( d6 E拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

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指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
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/ ?8 O8 H+ {9 {1 |有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
7 t& S1 Z- u6 a1 s以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

8 t' u# I+ T% {: J9 @8 t4 s* K* }对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
$ d7 b8 t) r$ v又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

2 X/ E2 S/ d5 Q: Z0 a7 Q对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积