我理解的拉普拉斯变换

可梦之

2 s- A2 d' X! |  r$ Z
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
# s: A; Z) N% s) k6 [  d
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

% e/ p$ N0 ~; |! A" R1 A电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
3 j& i  t, v7 P  b
1 l- t5 Q6 g: z9 k8 ^0 P( w

翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

6 W, e. G7 b7 v9 ?, ^

7 F. a3 K  e' P- B( X3 H* S不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

/ s; K! ^/ K; e, ~

* O+ g' w- E2 |! i+ Z" m+ x  \9 H, i数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

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% M3 M& g" l* ]  N8 |
" d% c2 k6 P2 T" e0 X3 B) I傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
; Q) X  E* i6 a) R9 a

: S2 N$ F, ]4 j+ c. [7 t
2 [0 F. d5 j6 Y0 }& r: I指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
4 [0 q) l1 O' a6 _! o
( }: ]& ?/ E# S8 U6 l有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
3 `, q+ K! G  y) [' S- g. d+ G- S又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积