TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
4 n' B; W( E0 P9 p- \3 g
: ~" u( J% m7 o! k8 F最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。1 O& H) T% z- u: {7 S5 D; @
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众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。4 W2 D' {7 S) n, P' }
9 |% d% n, w. x* \( I) W$ ~9 q
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？) ?% Z- b" T0 U
8 G( H9 r1 [8 M) e G/ I; j0 y, x
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: Q& g7 y2 T9 \; N# ]翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：" D! b8 m9 `; {- K" H
+ U3 z3 A, G& h- p) N# _
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! R; [( F. Q9 y5 d/ s, a不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法4 E2 `# Z' [% y
0 u9 ^3 x- {4 D3 s![]()
* X* D8 w9 z! x0 f; y$ z2 i; A) ]5 y
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。3 _4 F: q, v! Z. Z: p, s& ~, }
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6 ], E' Y# s! i. T0 H
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
4 v/ e3 L# x: g5 ]5 b2 J$ r' y; ~, x3 J
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。; c# ?8 h" j, U9 \5 {4 E9 X
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![]() 5 D/ n' X" {" A1 X3 k* M
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指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。. J( W& g& M" y) {6 a7 u7 |6 C
a* Q4 p& N% L) s- T/ ~8 V
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
