我理解的拉普拉斯变换

可梦之

- W9 u- c; V: w- O
$ \, t2 {' T! r3 \  E+ d最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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8 @4 L& I/ }+ V; A众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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! D4 R- E# R( j# T9 ?电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
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* k- B2 P4 \* x/ {1 S9 |
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翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
9 R- X( @( i4 W


8 u0 r# Z  e; g* H$ K$ i; Q9 }不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
5 w+ U! U& _8 o, g1 E* y; ~) v5 f& P5 z

4 C* ^- s. Y+ W" [6 Q2 ^
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

+ B6 j( c8 S8 k2 b7 F6 W
  m+ \) H7 F9 M& s: D9 R
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
; C3 ?9 n8 t2 I$ `/ [3 B4 I
. D  u( J5 L- v拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

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3 b  e, h6 ]/ J1 H$ v
5 C3 b, f, h1 |- E1 E- k指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
- o) G) }  r. u$ V  e
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
- P" \/ ?9 X( e& G7 L以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

3 o' D' S3 }% l3 Q对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
) c5 u: u1 J/ x. A$ D又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积