我理解的拉普拉斯变换

可梦之

最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
+ q; A) I: Q  I5 h
0 l5 {! u1 c4 t- Y+ ~1 s7 t9 V众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

% C& [$ M0 {3 E( E' i

# n1 [1 B* A# t3 [: C翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
$ x& N+ A# I5 v) P! Y
) y' M( A- s* x+ Z

不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
5 j  Z  _0 a5 D2 e2 r

- u- k% e$ ?8 M+ j2 M+ u' i" z' O
2 r5 ~2 A  t/ H% @+ j$ z数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
* N) Z9 W' t- Q! h& Y" l8 ~: s% Y
6 w: ^+ p9 ^  B" a2 N, {) Y
( R. W% X8 Q: D  ~
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
2 f  J% s6 l8 ]; Q
' a, O% i9 `1 k7 V, h
5 P' G- u" T- N; E& E0 l0 B) j
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
$ @" e- k+ Q; `0 `! R2 r/ V
* p' k( C  o* R7 h; n9 v& M! T9 ]有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
, [+ n8 y2 X% O1 V- Q/ V1 c以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

# x2 K. }. ]" Y' j$ |& ?  i对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积