此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

0 v2 R2 k+ p! s+ B1 r
其实是个概率问题。
6 p5 }5 g7 e( z  ~  K! `" G那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
5 L0 L  U# v/ F0 H" N7 o在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
# M6 \5 y  \4 I% K2 \问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
+ E- ~4 |, [8 D. q- V: g! F; U
9 A0 o+ n& f* q% e0 n按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
; |, w) {0 g/ J8 K4 b8 o* o; H5 a( r
& F, u. j( {, J3 X# R" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
3 n: [0 w( R  E; E2 A  ~) |
% P" O4 m/ E, ^6 M  M没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
: [- ^/ U* @  A' W  B  o" k& n随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

0 m  k7 W, K7 u5 R/ t) NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
& Z( \, v7 m) H% L' b) [
然后从头开始：
' N0 z" W" ~1 N1 [) y" B) QE(k|k)=1
3 t' P8 |, h$ d0 w1 ZE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
& |1 d4 Z5 y, ^/ W6 a2 BE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
, U# b, H8 ?  y2 J
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
! O  M5 k# i1 r# Q8 W' M随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
6 v5 V+ X. T, X' z+ K% g多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
4 V6 [) _( v6 l1 m9 B) p6 k这个题目可以用递归的方法解决：
& P/ C+ P$ m. v; t& O2 M
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

! m0 A  h- L3 I/ @
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

5 f; |9 B: g8 `% P1 t' e" ~

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

$ k0 l) p3 `& M9 u6 z8 R# d2 p
! O+ ^+ z1 P  e6 m2 O我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
) H5 q5 ]- Y$ }8 T: j否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

9 j" d' k4 d2 a& `# h& ?. u而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

: J; \% M0 j9 K& `2 y8 _) GLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
* U. \5 V8 K+ Q7 L; W
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。