此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

1 [$ c$ N: h4 p+ l& R其实是个概率问题。
+ s& b% H& f' b  ~  P2 W8 D; x那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
/ u0 Q, c3 E+ F5 I' o" nhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
& B! I: U4 }. U, O0 n. i8 e" B
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
5 r+ ]( Z9 w" V$ Y
' g$ M' e  E, X" ]% t' A: C5 S5 N+ ?老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

; I- T8 s6 y; M# [0 m# l5 N
您对答案的理解似乎有误。
: S6 H- K2 d" T  t# a6 m+ k9 C随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
1 D9 T$ g  j9 R7 g' O而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
/ k( j  R# j. e( D8 C; G9 N您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
; m* y! e, {8 G% E
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
- n; \. C; k( F0 \- k+ ^
, x7 F; x. l8 f" M+ r1 A6 l然后从头开始：
. t7 \, K/ s' X( C: W; IE(k|k)=1
0 W- l& a- p; S9 m+ m) s" AE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
% {6 P( f) r, E& `9 h# q3 ^Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
9 `) n* u0 C, r& d4 Y# E! n
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
+ F3 J; r3 ^$ Y5 ~% x# g您对答案的理解似乎有误。
' m9 Z3 H) A! J2 @随机变量X是测试过的元素的数目
. n8 [% i- t0 b0 n; h" s: @5 Z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

4 I# S7 A1 P% T3 z6 _  l' ^. r明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
9 H& W- ?9 w* W( F3 f9 P2 j多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
3 w& d6 ~5 `( F0 x这个题目可以用递归的方法解决：
8 m2 u' G$ Z/ q3 w3 o: M
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

$ {' Q, F  `2 W3 R7 v& Y其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

, O+ u! I! f- g$ R- B我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

  f) E) p* M' Z' |  ?& z- Y而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
6 M) O7 E  @; L6 L( f8 |所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
5 J' C$ l/ K, j) f# I5 o
% E+ S- y$ m& pLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
* R, }& `) F# {' [  h7 ~" Q
+ }" I+ x& T  a3 E1 d1 c: P, W% q3 gFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

2 N' f9 Y! ^; ^) G# J. p& _For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

: p: l; }5 o- Y理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。