此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 m5 g3 i; N) x( {: p, \" Q" Y0 J  U
! b8 v1 @# r: \; u2 C7 k" _, s其实是个概率问题。
3 r7 B6 r5 x& E% E6 D+ B那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
1 K& p8 G  t& g2 }. b在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
* y. L6 T, _, ?# Q9 u6 ]# @  |1 ehttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
5 ]6 g: d) ~, B, r, l' C% `4 ^
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
9 {1 f* K4 y0 G: }; ~9 m7 [
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% o7 R3 X) x  T7 w4 R0 U您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
" j+ l8 S" I: B. j' O: V而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
) q' A( n; h4 m您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

$ p) o5 ?+ K" l2 g9 c3 zE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
4 P' b$ U1 j8 T  l3 d) h# yE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
% H& L! m! D) h5 v0 i$ ~Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
- i+ ]5 y) |+ O: ?而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

/ c1 \: V9 O1 \4 ]. T3 Y& C明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

' M$ f7 l: R( i1 u: U* F/ Z5 BE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, C: v4 `9 {. K- [$ @5 \7 y5 ]递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

+ b' _/ I5 s, k% \5 t; f( o# H

老福 发表于 2022-3-26 12:01
" [: W% e7 P0 ~% P7 V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' z0 ]9 J5 Q* A# Q
7 E% I7 l# l; c$ x: D1 f我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
$ ?9 F7 b; w, ~9 p# b否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
! }% O& H: `- E, i1 T; t0 A
7 I3 x' E2 d" t& o% ?* p8 v0 \' r而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
  T2 q9 D+ @, n; \. o- ~
) z5 v: e3 Y6 T/ wLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

' U+ }9 x" ?3 X& m( F  Y7 [For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
' Q4 l7 M) }) B+ J( {
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
" C! y9 {. F& \. w
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。