此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
# m/ O9 c9 u5 _" M6 k/ ]& j那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
! C/ z9 a8 A/ ?
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
* d: [% d7 K1 {" `. Z5 B, s. y
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
! G2 `- |) ^. j. j4 T
$ T, Y) h. x$ m3 q5 m没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
2 p9 h8 s: q2 P( U! p$ A& i
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

5 J  q) A* R" _/ K" v您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
$ V" O! U" Q" J& P% c; `- j而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
" m0 w& X& x# l所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
3 `6 P0 R8 ?0 H, ?您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
# C4 f/ }5 R3 r' |; r
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
% `0 G+ e& [" E6 m) T2 \$ f
) Y3 B' @7 Q" }7 L' `7 {然后从头开始：
E(k|k)=1
8 ^( F, B' p! ~( M# a1 EE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
8 Q5 w9 r. ]; I+ u) A5 I( h! KE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
0 F3 V8 ^0 D, @# l2 TFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

3 v) ]" |4 i  P* p' a. q- P明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) z, O& C9 I0 X, y! ?* N
/ R, Q7 J4 L' n' ]) W; f9 |递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
2 ~% V) `/ T' R% A9 z# }$ p2 H. h其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

$ P# A& q% g1 K7 U& r: J" E6 q8 V我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
+ x0 T0 M6 e: k2 E* m否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
6 M! K* J# M8 Z" P4 r7 X
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
% U, {/ v  Y$ q$ Y/ `) K
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
9 z0 r; q7 y! \) v0 |
/ v# R! v* F- ?" |' L, gFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
& ?) w' B+ w) _1 i
7 |( N* r7 n; }' k$ p/ Z( d9 c* a( @For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
' S1 {( o& v# M8 ^
$ m! U  }7 U# x8 B7 VThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

0 A* E' b5 `% @理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。