此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

* E) K  ^3 P8 D8 F7 C( x
7 w/ S: @1 Y; u6 X8 [其实是个概率问题。
0 t" B9 x7 v. _/ Q# _9 \5 _5 {# Q那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
' f' ~) }( h% S4 l, a在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
: e% z$ H' H0 c' B问题就是这个人的表述
$ S1 w; h( r& j5 f( Xhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
' }8 v) c( K: k/ k/ ^2 d4 Y; r. M
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
, v5 [% K7 |# v! u
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

) ?, h+ I: a3 J  k  x' C老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

, m0 E" Y8 H7 n9 ]
8 ^" B8 F/ y) R3 ]$ ^8 d您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 U$ e$ r, o0 G1 [- k) V7 k而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
: l8 _" d, c5 _$ l& S( c所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
) e6 \3 B/ t4 ?0 d您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
! {' a4 L8 V: v" |) x8 n! w# D1 y
7 s1 B, W4 u& v# a6 V* B. X然后从头开始：
E(k|k)=1
5 A9 _* e- B7 M8 {4 Z( w/ [, JE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
* s+ Q2 M5 Z; OE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
8 V+ ]1 ]0 n4 _1 q0 F8 M( xFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

+ ]. E$ I  H- P9 w! N' n原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
  l3 o/ Q% G' \4 z  I0 U1 Q您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 ^7 l! [& q' c6 O而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
2 Y) y) ?& t! _) O; w( W; u" `是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
9 q9 u- Y9 ?( R3 P! \+ v# ]5 a4 U' b& A多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
' ^9 }+ \: s$ o! e. `; ]这个题目可以用递归的方法解决：
4 w3 a4 r/ T- O0 t$ P
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

/ V( B. Y4 U) H9 }( i6 v1 u7 d! {$ j
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
* Y& D4 g' ^/ o) B0 z! e' v8 v递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

6 T1 Q3 |" a! p+ N4 d我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
6 F$ _# s* G9 p5 _$ E否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
+ a& p$ j6 k0 m1 z
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
0 d' m* F* _! Y所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
/ h' `% G2 E+ N1 G3 _
6 l3 Y. G0 I% d' b, z5 g' rFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

$ P# H% z/ ]8 N0 H: U理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。