此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

) g: C2 n6 @% H4 p& [
$ y# n( r+ o- j9 ^$ n其实是个概率问题。
# @- T" }5 \$ x2 t; ^7 Z那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
. `; F" S& F4 i7 N; \+ l% dhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
7 V3 j* P5 J- c$ {) V" O
" G! t& I9 ]5 K  }& b& r按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

/ b5 ?1 q$ M( F8 Q5 d" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
4 U0 B9 G- E( i! d4 G
$ y5 `. m6 k6 N' I! Q没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
: S, A8 r" u1 v0 Q3 g
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
" A8 P: `5 h/ \* F, ?# }# f+ [9 E, K3 k随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
" n* J. G* f; F7 V所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
' \0 ~5 O! `% f4 U2 X/ J. X' K- ]您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
2 m9 r* r. [0 p. y/ X$ Q
  N: M0 ^4 y4 _4 J" Q8 p: @) IE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

: b2 M% ]4 I4 ]0 f4 `# y然后从头开始：
0 O0 c! K1 b0 q0 ZE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
. \, k$ }  Y) c" o4 c. }E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
6 `7 A6 ~: W. L是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* ^3 ]% I  |/ P( u多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
: d8 |8 {5 }; ^- e4 d7 r
9 l8 v' t9 X2 \. rE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

' h. v$ a( w' g) F递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 L! F8 ^4 o2 c6 e9 C* D' g递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

! K/ F3 i$ i7 t' V. m( U# S# Y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

- L' p) f5 i. @2 W0 j/ E8 C
8 D+ K1 R7 W/ S, P/ H8 z我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
  _$ s3 e# Z/ d/ C7 P否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
; J; J/ Q7 {5 H! g) W, d$ E6 M
( F8 }1 N3 Z; ]" v" }" o" q4 J* R' g0 L而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
) ]( N3 U/ L1 [& P
7 N, c2 L% ^$ oLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
4 K  C0 ?' ?2 g4 t0 x
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
% M" |) F7 Y$ i1 l3 R/ P
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。