此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

/ w1 l8 g" A7 I, e( O其实是个概率问题。
! N4 j* ~( v, Z+ m那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

* {3 G, B4 f, H% o按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
: j3 Y! c* w$ V. S3 |7 z
, @$ k; |5 x$ e8 D6 R; U" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
9 t' z+ v: D- C; I* E5 }
. s/ q/ H* {3 `) a没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

, I! _. L3 L/ i+ Y+ N, v* r老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

; q6 s! e0 l+ T$ N  N9 O
您对答案的理解似乎有误。
, f8 d, H( S1 I% Q3 p  `) o随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
, E; z6 j. F9 _, u# r, C* j而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 z5 i3 u. g" X您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
6 l/ Q! l4 Q# {8 r
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
2 p( y" [6 x% r0 O! Q' XE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
8 v9 o- M" G* S' F8 n8 n1 [  SE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
$ q: O# i4 F$ l9 a, N, \9 E. n随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

0 h; W8 g* r3 O" n明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
( [3 X$ ]. v( y, T多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
$ Z, c2 k* l0 d' V0 a- f, R& n; ^/ z
! j% A3 X% q2 V  D8 y  qE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
, p5 `/ @& Q0 p" h6 ^' u其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

- n+ x' R+ g* v# P1 F/ `4 f
% B1 p" i5 |5 k  h, _  x! ^我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
0 A. k; P6 d( ]+ a3 l  l' j; a. v否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
; H9 H, P' M$ l  F
: P, L  ?  w7 F8 T3 R) f5 W而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
6 w! X( k9 T& ~. I所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
. t; }8 N0 U! ]" b
9 n; z% k) u" T0 f7 e- C# ILet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
$ U: l# K* w: E, u; z
) e* t! p8 F. {. D; }For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

- G+ H6 B8 K' q. n' ]; UFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

, O- M' H1 Z6 K0 @- i* j* Q4 uThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。