此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 y& W0 w: S. C& I1 a4 |- Z/ }其实是个概率问题。
& S7 }. ~" p1 p- @! s1 k9 u' }! G4 e那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
; P8 e* P, K: S( ^+ m0 d在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
3 |+ S5 |5 {" g- U" C. m: B3 o问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# M" ~0 d. }4 c" B. d; C+ U; j$ A
; v" ~& ?& D8 ]0 N5 P/ D8 W- t  P" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

/ z/ M5 ]$ y0 z( b您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
, _# s$ q& U/ g8 P9 K而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
7 I* D3 o8 ?5 }4 g  v, ?所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
2 b5 X7 F- n6 k. a6 o/ H您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
/ W* s8 U( k' CE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
- y" F) x& {5 z8 dE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
* \# ]% P+ J' i6 |5 dFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

4 y' J9 I1 ^7 l3 |: [$ }* U原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
3 K: ~+ |3 Z, ~% Z8 M. U您对答案的理解似乎有误。
9 H1 u& K# l: |& |4 p* G8 U. g; R随机变量X是测试过的元素的数目
  m, d  [# x) @4 d0 W而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

& ?) u6 T2 l" x2 h( c7 K7 ?+ N" N明白了。
. L2 H' D' ^" Q$ {9 Z是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
; H4 w: E1 n, Y
5 q* x8 K& u; T) Q% p. k6 jE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

& c; Y: W7 f+ a! c- q
# F: F3 }; p5 N& [4 ~递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

8 i! t3 I- j- k# P; S2 f0 v, q3 p

老福 发表于 2022-3-26 12:01
+ H1 N- e/ t- L2 _其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

& P8 E0 l  i: f- v2 [! {9 `
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
' i* B7 J7 l) \% a) A1 H所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

0 |* j4 b# q9 ]1 }* [For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

6 g0 q8 W7 V: p! R( q! M: uFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
9 [: _( v7 w$ M* J5 S
+ v( Y% f  [* M- }+ ]/ }- y% r: GThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
! _9 W/ G2 A0 M' J8 W7 {2 i
7 E- y# E0 A  e. |9 J( t理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。