此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

- p! `* \$ Y7 b8 `/ K$ ~# j其实是个概率问题。
1 j" W* l! f0 `0 p那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
% w' X8 ~6 z7 y- e8 ~7 x9 _( Zhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

, h$ ?+ f5 y' ^, `没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
, J* U% P& J; E. {9 c
: A7 ^, m/ C% k1 j: \0 O% ~老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
, ]0 a: [3 c/ a; X! N0 m随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
! I( s/ w6 e% Y所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
' N5 z/ M' f9 Q0 L  h# b2 b而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
% c6 [" q4 p4 A1 L  @: P; H4 H/ |您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

+ _( b. h: u, z' O) M" W2 a5 e9 }- GE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
4 |. u1 l; K" U: S7 }  m- K" v. D+ T
然后从头开始：
7 h+ M4 `. Q  X8 T) I% aE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
; p5 ?. I2 }4 Z* M( k- }% xE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
1 w7 W1 f' R% x- n$ e您对答案的理解似乎有误。
0 C1 [4 M. r, |) P: y; T& z随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

1 M3 q9 b+ p; n+ ]0 u5 J7 z7 ^1 i+ n明白了。
0 U$ ?" X* v) L, s! a是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
2 H% E; B, J0 u这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 Z+ U9 `4 |. ?9 f; F递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
# R, I$ H$ N8 A7 U' _递归法也是可以的。

1 ^8 y; ]* w, m& l' N5 S+ @8 }其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

- I2 ~+ v, ^6 o" A: o0 w% E2 L3 E* j

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
# Z0 T" o: @8 L否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

5 U- C, x! M; [! `' w而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
( |2 W2 Y& _6 A4 f; r) P) R所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

& K- f) }8 `* u& P4 YFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
0 e  z% N' B5 @) U
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。