此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
( G; ]( b3 E6 w4 e: E在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
2 _4 j2 x4 B& f0 H7 K
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
$ S% O, O4 N1 J
. v/ V. [, P7 ~" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
2 O5 `# l& |- e
' o/ j9 ~& v1 [' A; ?没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
' X% f% Q' `/ h8 r9 u1 P9 ?; c
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

2 G+ F- Q/ @9 z: `
1 u5 J4 _6 Y, l7 B1 \您对答案的理解似乎有误。
0 l! m% C9 g+ z9 P随机变量X是测试过的元素的数目
& }3 `  L5 g' c: [. e而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
9 F9 V3 }6 j9 h# d- |  j而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
! \' Q% j0 m  R: w0 |* J
+ `3 L9 O# ~4 Q* i$ c0 PE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
' o' y( ]( X, T  o( u) M2 e( k
2 j) y, h1 g8 P+ C2 e3 M然后从头开始：
6 c5 m1 P3 V, V  zE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
" R0 ]  h/ \& [Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
6 z' _5 c9 l' G, }8 L7 u& p/ X
0 S4 j. D, E* B' U3 D5 o! G原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 g3 u$ D0 I6 Q" Y$ R2 N7 L% p您对答案的理解似乎有误。
) m% P# ?* k4 {( x4 p( \随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

- ]/ I+ g0 S4 s. T1 h明白了。
0 S; K  o1 D" v) n是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
2 M5 j( M# e3 n: @' h1 K. C2 e多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
3 g( H. J. f$ s: n$ _; T% L0 E这个题目可以用递归的方法解决：
# l9 Z% n" G% r% Z! C( T( S) \
, E5 b7 P3 D" s5 J. j, _3 B0 q8 HE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 W+ C- n; g( L: c3 ^, h
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
% m) `% n/ L. L" H$ r6 D- c递归法也是可以的。

/ ^- M  d9 X! A0 S% F+ o* x其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

% F* o+ l2 e+ l2 H% R

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

0 \, y$ B& A% C* @
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
$ k' w1 b. p7 T) C
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
4 S) o9 Q2 @3 ~( b1 i( N7 R* h! y
' r( B/ A6 g) b8 p- {6 Q/ kLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

0 Y/ Y4 ^% M+ P1 Q2 j% [! Q7 H/ QFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
; Z( }1 a1 Y4 G& X5 [, l: d
( L/ N; G5 N0 x% [* e& mFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
2 c, y  [9 ?4 m% Q' h! p$ r. ~
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。