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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 - k; u2 e) f5 |3 L

    / w1 l8 g" A7 I, e( O其实是个概率问题。
    ! N4 j* ~( v, Z+ m那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。) p; Y) Q) {. @+ ^
    在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。! o; Y7 n& l, p6 q2 i7 e
    问题就是这个人的表述+ C! T4 J* @1 T& r4 L
    https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time, }* J/ Q( I; j' V- t

    * {3 G, B4 f, H% o按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    : j3 Y! c* w$ V. S3 |7 z
    , @$ k; |5 x$ e8 D6 R; U" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    9 t' z+ v: D- C; I* E5 }
    . s/ q/ H* {3 `) a没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。3 l+ _3 h9 f2 d* ^7 m8 w

    , I! _. L3 L/ i+ Y+ N, v* r老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    2026-2-7 02:13
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    ; q6 s! e0 l+ T$ N  N9 O. s- i8 r& |, G- Z8 y
    您对答案的理解似乎有误。
    , f8 d, H( S1 I% Q3 p  `) o随机变量X是测试过的元素的数目5 U1 F$ y$ O8 X" S/ @
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。" i( S$ ^2 Q( j% r! A( n
    所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
    , E; z6 j. F9 _, u# r, C* j而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    5 z5 i3 u. g" X您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:
    6 l/ Q! l4 Q# {8 r. h( N0 ^* f5 N( C+ M# C, S
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)3 l0 P8 |8 N3 u2 U. z
    8 b# M  l* J; @# g2 q' B7 b
    然后从头开始:) K+ D" N! z0 h! O7 A' Z5 P
    E(k|k)=1
    2 p( y" [6 x% r0 O! Q' XE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    8 v9 o- M" G* S' F8 n8 n1 [  SE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)" Q) O' E! ~( H$ S- @& I3 I( d
    Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)# D% u9 T- H0 `2 @0 P
    - e' q. W8 X" g7 u
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:328 h5 |4 g! g+ {" E/ r$ \' Y8 P
    您对答案的理解似乎有误。
    $ q: O# i4 F$ l9 a, N, \9 E. n随机变量X是测试过的元素的数目$ q+ g3 L" [4 ~, p( G# z2 n9 z" J* B
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...

    0 h; W8 g* r3 O" n明白了。' `% m+ v3 Q. \* P2 [6 ?3 `
    是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)
    ( [3 X$ ]. v( y, T多谢
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    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:442 i0 @  r, u# n' g7 X2 W
    这个题目可以用递归的方法解决:
    $ Z, c2 k* l0 d' V0 a- f, R& n; ^/ z
    ! j% A3 X% q2 V  D8 y  qE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    0 A3 `2 u+ O. H" j
    ; L+ G: U- A+ B1 i8 [' e
    递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07, t" }, v+ H5 P8 y$ [9 {* {
    递归法也是可以的。
    " \! z/ P* P" R" G8 T
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    开心
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    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 $ k8 K" J1 C, D1 |1 a3 D
    老福 发表于 2022-3-26 12:01
    , p5 `/ @& Q0 p" h6 ^' u其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...

    - n+ x' R+ g* v# P1 F/ `4 f
    % B1 p" i5 |5 k  h, _  x! ^我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。
    0 A. k; P6 d( ]+ a3 l  l' j; a. v否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
    ; H9 H, P' M$ l  F
    : P, L  ?  w7 F8 T3 R) f5 W而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    6 w! X( k9 T& ~. I所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。
    . t; }8 N0 U! ]" b
    9 n; z% k) u" T0 f7 e- C# ILet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    $ U: l# K* w: E, u; z
    ) e* t! p8 F. {. D; }For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k., P7 ~+ k8 z: K6 d! S- X2 M

    - G+ H6 B8 K' q. n' ]; UFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).3 k# ?9 n' p7 A* w5 |

    , O- M' H1 Z6 K0 @- i* j* Q4 uThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).6 ~& L- g* x: P) [% W
    * z; {; l9 U" C0 f. j! Q
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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