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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
1 u& D. a/ J; j' k' i' e; S
# ~. k0 W# v5 i9 O经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。9 }: J, {9 t, ?: b) u# }# ~, G
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。3 K/ _1 b2 G" [1 h( N7 m8 L# N

1 h9 a6 N* D' b  i  Y; X7 X$ S# ?不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
6 L$ \: \6 ]" X' m. h# y/ H
- t0 c  Z2 n. W/ D7 T# W. a* l一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。$ A4 @; M5 G/ }3 K/ y
2 m# `6 b% D3 J& L+ m8 a' m( t8 q
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
) @/ C3 X% w  h- e! @# y- X' ^8 U; C. L0 i- Z6 L8 m& L
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
; J" l4 ~  A  I# m) i4 v8 E9 k
5 h+ s) L" A1 P6 R( j那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
3 _5 d5 V9 [' V% A$ x; s! }
5 J8 V* t3 l# w问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。9 g( w) v; F1 ]) m. b( T$ D) a

7 b: D' g. e- B& A. p' ]5 \
# X9 @6 m( ?( a' p# x; k% A! M量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
      v0 T2 R' q1 v/ b7 S/ e1 F5 |% [# B6 X$ o4 e+ Z6 }5 ^/ w: A
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱$ ^2 X+ V1 a% _1 _
    ) T' r5 o3 {0 l" a7 b* P9 f3 U
    经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵+ H/ }0 Q! c: h

    4 U" E+ C( z! W% [( P0 O; J+ o理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系7 u! p4 G0 G' {2 w

    2 E1 y) P( B" o2 W7 L6 x外行人瞎说的，别当真
    % g+ D: v3 W* w/ l& l9 ?) w
    1 J, v+ w" q/ `- ]& t/ J$ c7 D3 `! ^# V6 J/ K' c4 _* p

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    : P6 P. W8 h1 g0 X这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    ( R/ H- N) F' R& P3 P2 G$ p
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    3 `; D0 V5 W- U/ r效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~( \0 @/ C3 P# W
    你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？" W1 J' q; }0 P- `1 m
    只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    6 m( ~. G. ]+ g收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。, @5 C$ p& o7 e( S" y( e, q& i
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    / r( f3 r$ ~! O1 W1 Q! I" V# E9 g你的意思是marginal ...

    4 f! `2 N' \7 p0 D就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    / i; T+ k9 K6 Z  V2 z  v+ v/ m8 H3 ~9 Y2 S
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

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    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 , u& i+ g! i8 J2 G0 B% c
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 C! i& X1 u: H( K: c+ D& W
    8 x$ h/ T( i- b( ^2 t- {
    经济学又有点像理论物理 ...
    ( F) H8 m4 _9 \5 K  N$ y9 b# g! C
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
    ' p1 C9 s! [5 B& A( F% ~不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 1 e& w% K$ {1 }& K0 h  C  R4 n
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 V  a0 I& A  i7 C" I7 |
    8 f9 x. o  j; M# g3 x: }
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    6 E; d$ v( a1 G' [* d3 q  L. A几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。& z4 M8 v) G7 t, B5 S
    因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 # ?4 g, R0 M( X( E! e- V
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    ) I9 f4 Z  L: V3 {/ a

    3 E$ [% k6 W1 X) ~* r  z' M! U  z所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 ! C/ h# e. v  C& Y- b
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。* `4 e; r! f) C6 U' o0 r
    ; Q' f+ ^- D% n, q( ?; s
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    ' t8 \1 S- T8 [0 p2 y( v+ F$ c你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
    + |1 l% ^4 c7 ?/ R* `/ L: l4 d) W  u" L
    2 t$ o* l# {! z/ M* Shttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory6 m, a* |+ _* O; }& S8 v) C
    ( P9 v6 y3 Y4 H" l4 c! F
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。/ C  `- u/ e! k4 V  ?+ A2 z

    ! f2 V2 \( b/ y2 e! \- w9 B! U

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 $ M% b1 G# x( U" x# J/ Z
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    + F0 M+ r+ P! G; T/ H. F" ~, O. F, U  \, _2 G9 Z, d0 }
    经济学又有点像理论物理 ...

    6 K+ G  r' `0 b/ |, u2 d- v) y经济学还能挣钱的。7 P* q9 w  x. O2 Q* u
    6 X. o7 L' T9 S

    ) r. N" P. h) n) k$ k7 ]" y理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~  g3 Y& x$ u" j; e
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。: u' {% P- e; r- _
    术语上来讲，叫calibration。
    3 Z- u+ V; q* K2 X怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
    % w+ v  d! X  E( Q
    & D; r2 ^9 T$ O4 R) n# S% I  ^上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    ) Z* x0 Z1 H- h9 Q* x那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
    + ~" `4 l1 J( s6 c) y——计量的方法。4 Y) o2 O- {# U% C

      V/ i! R: X) P5 D计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。; w1 {. C- H0 q! W7 Z7 K' U' B

    3 B. N9 Y9 v* z( J5 H9 W下面我提几个问题，7 |) F' R$ f8 H/ n
    比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
    6 {' s: J" R2 E% G6 D& d再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    2 D* x/ X+ R/ `- G% Z  x+ q再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
    ) r( Q0 Q; N8 m! t这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
    1 @. t" u4 H7 @8 B术语上叫做regression。
      y; N& t; p; M2 ]7 ~4 T而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。! W# @. u$ w, O# I. D% r
      s8 Y/ K+ b4 p
    最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。- P8 a7 c4 e0 `  O
    每个观测到的数据之间是否是独立的。8 |' C2 ?) O1 C/ \4 x/ ~; P; o, B( h
    比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。. f8 a7 i' O- V4 H0 J2 B3 }
    这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
    1 d; B9 N# \9 S& o/ @, C这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
    8 X* \; ^8 |/ h* v$ H; z3 ~4 l! t! p+ C! D6 N! D
    于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。" X2 f4 l$ I1 R  C
    这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，. O8 M9 k( Y6 W$ Q
    至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。# c& q0 F+ \5 h& Q+ m

    : ?" C/ b; s( ?6 D; s经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

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    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    6 }* b. C6 ]: m* c6 A$ _下面就要来说说“量化”了~~. j) m3 D2 X6 ^/ y' Y
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

    " _1 ~" ?0 V3 c6 N7 A: h2 _* [所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    ( @. N+ i4 a9 K& \5 d效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
      r3 R+ ?; ~6 b, q/ v; u6 d. H. z
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    + a, i& F4 n( Y  b3 J% J" T" X+ i  [. A: s7 g
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。- m) i- X& {. n. Z( Z

    4 Q6 k0 M: K7 {! |! F4 V7 }6 i% t这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    " L" P. h% ^0 d- p- P! L这个我有个模模糊糊想到的问题。
    , E- O$ M  X- s7 j( G7 \
    ( E; W- B; b2 ~# a0 I# {比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    # s; N1 q5 O5 X7 m
    万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
    9 y& Z7 h6 Q/ |9 d
    9 A; n' ~& w, H多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32   U% b! t0 _/ p# B. i* r( d
    下面就要来说说“量化”了~~
    - {. [* I. p$ d. w: Z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    ! e! u+ E, Q# T: q4 ?: v* `1 ^4 V
    Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    " K; F) l; B1 |* [5 I; ]
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 % H  t; T. ]% A% q' }: P# Q2 d
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    3 m4 J! ^9 q% `  u5 x
    5 ^( Q% l6 n" S, u比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    * Z5 ~# B, c2 {4 p
    $ [( R& U+ z7 r6 a
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。/ Y( Y9 t) N% h

    / R3 G* }' \% h/ z/ c+ C金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。1 O4 k/ ~" h2 S' ]( I
    : [& f1 f" T3 ]9 w
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    5 P: P" i# c4 p. r
    ; n9 `% k5 h& _

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