我理解的拉普拉斯变换

可梦之

5 z- _' a) b% I9 u* f5 _
: }7 Z5 o1 s$ \6 U5 Q; z最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
: Q& N- C, a3 q: o7 [( j; q
3 \* R$ I& ]( H4 `电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
" s+ G+ |6 l! d0 d! Z! a! P
8 s. r( H" }! S4 m3 ?- G- R0 s2 m, M
7 D" g3 Q4 d# s! t/ x7 h
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：


  Y/ z) c4 [% a- o! }  K, o
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
0 O' |' p" ], M


数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

& b1 j. v6 a5 j/ q, d8 b* l/ T; Y

傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

5 I' x* Z* {4 {* b% B. ~) G1 L拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
2 W+ w( L. Y0 ~1 Z
# Y$ q9 F( c, M6 }, M
- T# L% |* ]6 o
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
. W* Y. i% n8 T8 q
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
# Z7 @( J1 e! B" e  h以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
3 _$ G# C; R0 |! A高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

" ?8 m  b& ^+ _, W1 R对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积