此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

" p7 P. d, o3 v4 w  D其实是个概率问题。
  ~2 ^6 Y  ~! G5 ]* t3 o& Y$ E那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
( x9 r6 x, ]* U. w: y6 B" I0 Q4 U
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" c  t! `; |( I0 ~3 L- V1 j, `5 ?! R
4 K- g- }( V& W$ t# f* Q% h! c& [3 O" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
: I/ l3 G, N+ P- q# F, K
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

( d! W- _- @* T- T! _; c
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
& i$ m2 i' M& I7 c; }! C/ b而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
# d: q: x, d- L. M6 s, c您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
7 _& X; C' n8 c( p& q) M/ j$ Y# n
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
+ ]4 u8 a4 W2 z5 n' ]& ]' y5 j
( b" {' W- T# @3 n2 V然后从头开始：
  h  c- h0 E  S# wE(k|k)=1
# y3 t* u0 s6 @2 JE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
# Z* E. K& M6 x+ JE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
" d  ^5 a3 A+ m3 r! {
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
3 f* V7 D& S- S是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
4 c: O! S/ [& Z$ R! [这个题目可以用递归的方法解决：
7 Y+ g1 N) @! P& T: a
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 w7 V5 N0 L7 e9 D. ~3 S7 {6 r
1 j& A7 R( L3 H9 {! m& w0 Y递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
7 y4 T; @8 C, l4 `! w递归法也是可以的。

  Z& S4 u! d2 J% F9 y) c其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

0 M, p6 ~8 a6 v" O- ]+ {$ E+ I# A

老福 发表于 2022-3-26 12:01
# m0 V* ~. c- V  u) m/ k其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

% W& f0 J, [1 ^我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
/ b4 A3 |6 H  Y, Q% V' z否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

+ J  @& o7 i$ c' P而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
( H, U& A% a: L# R所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

1 U+ L6 V% Y( s$ N0 ELet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

/ ^, c- u9 l( [* ?7 qFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
. N4 Y! |1 R8 v& w  M
" a! P2 H$ A+ X# QThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
3 p: N8 f, W0 k( R. Q8 U
9 B5 x! c4 i- V+ w8 O理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。