此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

: F3 g3 k8 }9 a4 m" T; M4 G2 h) ]& X) `# ^
  j$ B' t, \4 s! ]1 ~- \其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. f1 E6 H/ H- g0 L/ @在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
! a: y# `9 }3 D( l' F" ~https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

. S; e4 ^% K# z1 Z. h6 D. S: f) e按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
2 I5 M* f2 C" G3 H9 o
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
  A' D( E! c  |
$ G2 p% |  s! E9 n老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

4 X0 _$ ?( {2 N
: s7 |- w2 w% t) ]- \2 W& N您对答案的理解似乎有误。
0 ~, e  z: G2 S2 }" V随机变量X是测试过的元素的数目
* A3 e/ f6 ~& V" Q而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
) D$ S, t+ G+ `- o# F! [所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
2 _- u* x) ~! X  d而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
/ B9 F5 Y1 _8 t; o/ d0 F; G您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

. m- F! [% ^# o3 i! _E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ x8 f! |- U' z( @然后从头开始：
3 x  o7 v" {% K( Y* i5 Y0 `& z& ~E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
6 ]: z4 l* |  e# {" k# _: i. A/ lE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
7 {3 U$ g8 w" j3 v" v6 xFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
2 L% Q( E+ V; E2 @% T- i, @, }
' [- P" ]) f+ v( _原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
6 }. Q0 F% b, G7 \* ^- w随机变量X是测试过的元素的数目
+ ^4 \8 i9 b. c% C4 `7 D2 V: r' D而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

+ @% r0 P& m/ o" ^5 \9 f- z明白了。
7 {/ H, T( Y  H9 v7 o5 C是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
$ C2 T& ]3 G6 q" F, h这个题目可以用递归的方法解决：
/ e) J+ x( _7 l" {( X; j
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
  G* Z. l) H' J6 ]1 L递归法也是可以的。

6 j9 F! y) V, @, u其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" f. Y# w. L8 I8 N' r. y# t
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
. r$ Q" ?! n: ~3 `8 C
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

7 T5 F$ M: Z8 ~4 |) rLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
/ \$ {/ z1 ^0 _' T1 V
) l# h. T% [+ K- K7 q0 c$ \# yFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

' E* s0 C: {8 i9 ]; J# bFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。