此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

$ J, b% N' D4 ^其实是个概率问题。
- z  `1 d( e; F: T" Q那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
3 c+ X) H4 T& p: ^( a/ y, D在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
! C' U/ p2 O, w6 d  j9 h5 I/ j
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
+ U9 Q5 C; @% Q7 f5 C( h# D. _
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
; [+ X/ [% f- k* E
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
) n. d6 V$ Y9 }$ D随机变量X是测试过的元素的数目
. j; H8 }1 v, A而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
( I- e( P6 j1 H9 v7 V9 Z所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
. h/ K6 b* }; }! c; H而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
4 a" W- p+ Z) p$ d. A2 E# ]$ k您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

- }: A3 n# z" J6 ]3 E5 {E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
* m& V5 b7 ?! q$ p
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
9 b# a0 W+ |3 f; c6 DE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
2 a% Q+ s0 N2 N5 ~* m$ x& TFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
- b. y, n, X# T( @, s- x; B
8 o) m) \. p2 ~' ^2 i$ D原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 V, P4 d+ @1 C1 K8 X& U" f+ ?/ F6 X而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
& `& C* `3 m6 `) A7 i) f4 q多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

5 }! b6 y$ C  Y3 t  d$ R( ^E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 L# e+ g9 u+ ^& A5 c4 L
1 l# S- h0 I+ d1 ]8 D/ w递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 O- {5 u" x* g# k9 A% j: M
+ x2 W5 b4 O: J% V0 Z( c我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
2 [+ G/ Q0 N# n5 p, n否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% R) c( I8 U6 S0 E" S4 U/ c
( z% m( ]& C" _, N- p/ O& N; B7 @而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
* w4 h8 w/ A+ a* J- `. A# N
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
1 N! A  B8 Q: L7 v: _, Z- P
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
! m: e' b/ R( o: p' t9 z
5 ]5 R2 {7 y9 mFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
1 l/ b0 {' ]( r0 Q" @9 I
6 \8 U8 B& a2 f) N% BThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
* {- P- }; |3 c9 Q: c5 t
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。