此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 h% `) b( F' {* L+ M
5 C+ q/ i" X+ X0 M/ I其实是个概率问题。
, i1 S# {  f. l& k% i那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
1 u: j* `- m/ J' x在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
, [6 S: N& W# L+ W0 f- C
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
3 i& E& ^' |1 T  @7 r; {& `
: m2 R( T; k) i" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
1 ?' P5 ~' S# A' R0 W+ X0 q$ {
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

$ `! [7 U: S% H- w老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
. j& C7 E. }, ~/ {" O( n/ u# y随机变量X是测试过的元素的数目
9 f  `2 G4 X% Z0 ~7 x, R2 `5 o+ S而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
) @( y: P0 z8 Q* o% A! s所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
  ?4 s5 J5 i3 T& K( Q您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
7 D! T( x8 q4 Y5 L' S
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
2 Y, Y* ~+ o$ t* W5 w- }' v% H0 K7 I( IE(k|k)=1
8 k, I+ p0 y' A2 BE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

3 H0 Q) z0 F" i/ P原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
, T3 j) K! L2 K$ W: [是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
4 g* L6 S$ _' O) ^& r4 q
3 j/ u. M& X0 b# }E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
% d0 h- v$ L: ^, |+ e递归法也是可以的。

+ Q0 j: J9 ~- h$ I) B! S- @其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

6 q7 [* ~) Y- g  ?% E& j

老福 发表于 2022-3-26 12:01
2 J# |, i: X. _/ D- P7 @. y* z其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

& ^7 h7 E; ^% ^: U; `
8 \7 H- d' n; f& @我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
6 D: s2 }' N- G( q; B$ U/ q/ d2 ]1 u6 C
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
% J# {( U# o7 V& s. u  m
& m. o0 _7 j0 U# d1 o8 P" F6 MLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

' W2 e& ]& n$ s8 ZFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
) U7 _5 I2 c; l3 L- _8 x, m
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
. _! ?3 l, u& R- I# \, J
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

1 M- A3 k* B! }8 l理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。