此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

9 [. v$ h; `" k- c* @' w# q4 m4 k其实是个概率问题。
4 L, W. w& ^% Y+ j) G那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
  X1 Z3 d( e. x* ~( L/ O4 V. A在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
7 w# f$ H9 f4 P5 j: o
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
% `" Y5 m0 P2 {; a
6 R' x/ n% |. ~3 N6 _0 Y- l没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

3 R8 g; A4 Y' \) Z- }5 L) |老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

! F' `1 T$ |3 X7 X4 C# K5 b( y
$ F# b7 k, @* n) ]; d' m, K, Y您对答案的理解似乎有误。
9 g7 B- K2 f: g% C随机变量X是测试过的元素的数目
1 ?1 N2 ]; }5 E而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
9 e( h6 ]6 Q; _% L所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
. y: i/ r, Y" C; Z( f3 X
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
! Q( }: l& K& S6 S
0 |- t1 u2 F, z9 h0 v8 y- L然后从头开始：
- e* L9 Z$ G1 |9 U* U9 ], y$ hE(k|k)=1
7 ~* ^' o1 Y$ {E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ x) m5 Y$ D( G4 i& ?E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
* {- e  f0 B# K% H
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
9 {/ x5 m& o6 M4 d5 o" ~0 f您对答案的理解似乎有误。
1 {6 {1 A, F% |) ]6 z6 D随机变量X是测试过的元素的数目
, |, }: `& \% C& a/ c, J而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

2 p; _; }( n/ F" g+ ]" W; P; F4 t明白了。
' C  ?* `2 D- `# d是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* ~3 f, q8 N1 B& u8 u多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
) {3 q% y0 j. d& `' U这个题目可以用递归的方法解决：
& _4 z( Q% B+ a
2 |5 O: X5 s9 RE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

% H- S2 c7 j0 ~  T" A' D% x3 D% VLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

, h+ i1 Y2 i; y( q, gFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
# x1 P9 K& x7 H$ V4 l2 ~
* B3 z4 N- I" j/ s# F8 H. M  `There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。