此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

0 D& W4 A' D0 o其实是个概率问题。
& N+ k8 s. m" s那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
0 J0 ]* s3 ]) }0 Uhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
: J' N! F( V  n* J
& \* q" ?" H# t! R, \按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

1 l4 a( J1 i! K4 R5 m# N7 ~1 l" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
  G8 q& ?) f9 U7 V- E
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
; z2 _+ K# u, ?3 J3 X' M0 ^1 ?/ F
! h+ x. C4 \; `3 r) }( b老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

/ f% @2 j! y6 V& Z
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 }- W. W+ K. C+ O; F而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
( x/ [/ t, A% a$ S' X3 N0 o而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 @, l" d' V. ~/ p0 j: b您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
! m+ \) K7 ~: J! B( r0 [  R5 q
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

' H* C$ I2 f: A然后从头开始：
7 n2 d7 g& E- \% \) Z; h( h2 AE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
" u; v% r( @& P6 BE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
; j( L( M" ~7 c" |% e3 b您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 e  Y/ s6 K1 y0 H, Q1 }而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

* }9 U5 |0 A* b4 D明白了。
1 B9 D% u- g4 m# W) ]- X7 W( J& o1 w是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
2 Q8 c4 d6 m% x( F5 A; d多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
/ c7 f( A4 T4 I+ Z7 Z! e这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

1 A+ g& _* g3 E递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
) t6 K! R/ V! N其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 ^5 x9 T3 B5 C7 `% ?我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
- m+ j8 h2 ]9 j% l否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
3 N( a# n$ [+ s) @
& P# n* A4 b* E5 T+ m1 q. ~Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
* ]9 Y6 q0 A6 ^$ c6 o/ }
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
5 T7 R# \9 _, ?; x7 u4 |, j
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
+ a/ h% c$ o$ Y9 i
. u/ Z+ ~& C5 a& z3 o9 S' C# t, l理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。