此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

1 Q1 q4 K" \' Z- N6 A
其实是个概率问题。
. G7 u" ~+ {- E* h. S那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
( O$ A8 I! F1 R
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
' q% B# x3 K1 e' G( k* }
' D, U/ K0 x+ `3 H* t7 B+ p/ m( l' \老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

4 _" i& D0 k% j6 P6 X
5 p8 z( Z. `" K您对答案的理解似乎有误。
: O- n& W: C. g- e& ^随机变量X是测试过的元素的数目
9 L% E; W7 M8 B6 G# O- e+ E3 g而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
; J* a% ]$ C# Z" L1 m7 P5 a/ u; ]- o  n
3 p/ d0 Z$ {. g6 R' M; bE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
7 `  E% o* l; F& ], @( f% }E(k|k)=1
" L: R: Y0 G- |$ t" P& |2 jE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
+ G# \6 r' X6 [* |( Y9 V% FE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
2 Q/ j$ v* U1 ^" x$ k0 B. h5 D; _Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
8 d) n0 b2 v1 ~6 e7 D5 f$ t* A
1 w8 c# A5 y; ^4 n/ M原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
6 W9 u, Y  A9 \8 @, M随机变量X是测试过的元素的数目
4 m/ @" K! h0 z3 h/ _1 g) u# ?而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
2 j- r; R7 X! P. E多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

# R& A" x, v/ T$ r9 pE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 P* ]% Z% y6 S+ m1 ^. Q2 x递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

5 m! p3 C, y# O* ^% o其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

! S0 h' _- e/ @- v" J% h/ L

老福 发表于 2022-3-26 12:01
; G# e7 h3 K, X3 A其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

1 ]# K6 V# h$ G
8 ]3 g4 u; Y- s7 [$ P8 q我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
/ {1 L6 ~$ D( W! m! `否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
9 o6 `. o* @+ H6 }* ]* ?2 f3 G所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
! p) t# s" T# W6 @$ ^
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

1 w9 L6 `5 w+ U4 O, B( y0 \For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

3 l1 h: X, U9 z' O5 ], E/ C7 n1 s8 P* sFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
) b; B- ~- k+ z$ _
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
' b+ Q: _. ?) {  J6 I
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。