此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

. ]. z+ P1 z( _# f$ U8 I
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
: u/ ?* C) y- z' R在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
6 I8 k6 F7 T/ H, p, H" i) _问题就是这个人的表述
+ g+ |  \" z* thttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
0 d; m" d" {3 ]8 E" J
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
) k( M9 q; a9 P* O. B; e$ {( W2 _
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
. l5 Q& s9 U3 \3 ]- U- n
* A: H$ S9 K5 A! L6 v4 ?5 R没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
% _! }2 _) |8 n9 f
9 ]9 i7 N- n- U4 n3 J( _2 K老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
6 W2 f1 A; c# l( I随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
) G/ P( X) }% m- k9 B
% F* c0 h* ]6 s5 ]* {: }2 M5 D然后从头开始：
6 ^8 m9 q7 R3 {+ [$ C* H- r' VE(k|k)=1
0 \  q; N$ |! SE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
2 ?4 E+ P1 x% j4 s
8 N; Z9 m- I% O% F, C原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
& W0 R6 `  x2 o6 w% E+ M6 ]您对答案的理解似乎有误。
# C8 a/ L  L! @2 H- y随机变量X是测试过的元素的数目
4 `/ ^& g) P% `! `6 i% [2 e, e而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

2 G5 z$ U: r% i  |# {8 n4 }0 z7 v5 D明白了。
9 Q  O& e- ?' L: ?& D是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
: i' w1 I0 ?* ]( p多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
5 R  Z) Z1 T# l7 h, m这个题目可以用递归的方法解决：
4 I" L0 ]0 u3 u9 j" P, ^/ r
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 t* c4 t7 h8 U, b- }/ _
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

: S) F% O+ c5 f  g3 v; N

老福 发表于 2022-3-26 12:01
3 ]8 v6 F, b+ ]* K4 E0 V+ W其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

% g. t9 @1 X+ \
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
4 @, _) s' k- N& m0 L) f8 G否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
; ^# Q% ]$ c! o; l6 S
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
0 b( J5 w& A" i所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
/ T: r& d) F8 U  l8 O
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
: C0 H3 w) H% U8 P
) d9 j6 Z/ o+ C8 G' eFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
: O+ }9 U- D5 C9 e
9 q/ E/ g0 S3 X* s! f1 i" dFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

4 j+ l* g3 B! b  l: B& ^There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
, Y, M1 N$ a* l) o
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。