此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

( Q, L" P2 C- ]' i其实是个概率问题。
/ d5 k" P: J- {6 v' @那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
- i5 l9 _6 K3 p* v! V5 t在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
: h# J( U& P+ i/ H: M问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

) T1 `( I0 y8 f  ?$ C6 z* u按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
. A0 K! d) r1 n7 y" j
2 Z6 E3 d4 {& k# Q" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
. g1 X5 k# q0 }+ Z5 |
, f1 n/ R. R/ E  N, o: b没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

! ]  P4 d& j& W; |4 ~您对答案的理解似乎有误。
, g5 H( Q) Q& h, V; A- o随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
8 ~" w- }8 `0 n! K您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

' n1 h$ i% g% J6 p0 k" q" V. [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
5 \7 P2 M, u! d7 G, g$ v( LFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
1 u2 ]/ |0 V; o; {
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
' l: R7 z4 B1 `随机变量X是测试过的元素的数目
; r+ \4 b* x' t; h而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
9 m4 @4 {/ {; O6 w是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 L1 ~, C( h8 X3 O: U" l多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
: M( s9 i- s1 u7 C0 [) w: q
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 d7 G, m5 \1 G. V3 K
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
  ]3 \+ u. b& `* R/ @9 c递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

: L" u- H1 T! G

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
: D& h$ x+ k2 F' B. A* ]否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
. X' r6 k) \/ {& ]* ]7 P& t; @
* L- g% j8 t  S% U! G# U$ M. h而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
# y5 i' M7 g9 r: Z! p所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
: r6 t- M  k1 S! E3 Z9 u5 J
1 b9 ?: [  G5 J- w$ o7 A0 [Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
: u# k. u# T  h. X
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
" ^# q" `, s4 f- W& H; G
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
" H3 w0 s6 l( P- J( |5 P; ?
! T& ]2 N" V' u7 t+ ^& g! e) A理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。