数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

' d2 E  a$ W* {+ f
. p# T  H) U9 c$ E2 [- f经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
+ o. K( K8 t: U& H+ Y大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
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不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。

1 K8 T& u9 v6 `0 p& F( `) r. T( G一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
+ _; h# l) f: f( K% \
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
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所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
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那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。

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量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

  _) A% h, X- v& i5 c) V
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

: y# m) q: @8 }6 |1 h; a, f/ f经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵

5 `; Z% {3 [- b+ y) O% p% b2 R1 d理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
( u0 Y/ k9 m$ J/ a5 l' ^
外行人瞎说的，别当真


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假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
& t" N( r8 X: i: A% ~+ a9 H效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
8 Z3 f4 S$ W$ {  A. ^你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
0 Y' i1 m5 ?9 `$ F! c, a收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
0 B3 _  _' T% k效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal ...

就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
/ E# e' n' {( k, ^' l5 O
+ K9 x. t5 [) d- @3 J这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

% q% w' q( M. \经济学又有点像理论物理 ...

3 S. G$ O: Q7 ]& b  ?嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
( q6 y$ ~0 F# i% O
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
1 ?6 W3 P! ?+ m- }# u# y4 O. G9 S因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
/ i+ T$ c2 {6 Z, H2 G) z5 O6 r几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
2 I' P* n* U" w- W2 I
  y% |( U4 m- ^, X. l: k/ L+ C这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

* N. g# @1 X" p4 T, c你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。

" z" {) H; ]- e3 Zhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory

经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
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# E5 P, Z2 `! u, x5 B: c7 m

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
; A4 c/ s: G) v* ~! `3 v
& z, P1 l( N( L; o经济学又有点像理论物理 ...

经济学还能挣钱的。
' Y7 b" \& d' m0 s7 B. v: q# h4 e
& J) ?/ l# s- k
. j* P, z2 }5 `8 B9 j0 f* n理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
术语上来讲，叫calibration。
4 _! b9 C+ J& W* l& ]怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
8 Y- X- u4 E9 x
0 p  O' D: e  Q9 _上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
——计量的方法。

  M+ a9 Q2 H* _6 j( E计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
& Z! D3 _4 Y% ]* z
; M* r# j0 }5 e下面我提几个问题，
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
7 D) a: v' r/ ~+ ~& r( C再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
术语上叫做regression。
- W4 O; e( |  T* R* ?* w而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
9 @" X* U7 J9 ^" E3 l( G
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
/ g( k( i$ T2 N3 A' u每个观测到的数据之间是否是独立的。
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
; }& P1 O; R. W$ y8 r, s: \0 ~1 c这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
* O1 q8 N# k" M+ {" q这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
9 d* V% \6 s: G
! J/ N. O# x) @! |3 m2 a4 ~6 z4 _于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
% Y* H  G+ E2 q( E这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
) L8 G: M1 O) v, H; F
. `* r; n; @$ r' P4 x" i6 Q经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
' l8 Q' y6 d% j$ W对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

4 _3 u; W( _) H; `$ O5 E所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
' N: x& H, q) I效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

这个我有个模模糊糊想到的问题。
  y6 i( d8 w2 p! i6 X% s
: a* g; M3 l4 Q- T2 y  X  V比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
$ ?! t# Q' ^: M' p7 {( j$ ?- d" L7 D
9 u- u' u3 a) J这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ g. ?, H, v/ i
; j% L6 x5 W; t  u  D$ q比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。

多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
0 l9 w7 x0 n# y2 v$ E+ D下面就要来说说“量化”了~~
- E3 \& @5 a  C2 \% c对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

3 b& \, G( J- L- O6 b( j2 P3 OCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
2 O. u7 H  B: E这个我有个模模糊糊想到的问题。
- l1 a* ~3 A6 d8 b2 e5 b: C
, _) x6 ~; Z) z1 x* s0 X比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

8 G  i( o3 {; D! [2 e3 [. a1 U
+ G+ F( b$ y/ V; Y7 q由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
4 C% o3 @9 Y; z3 S% [; f# T2 c
4 X& z' T; n9 I3 g! {$ _金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
6 ^* ~# ]2 Y, D, X
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。