我理解的拉普拉斯变换

可梦之

* M) U6 j. |: L8 }* C. e4 g' `0 j
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
- e  Y. |; M7 H* N
! P& _5 ]6 g8 X电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

( Z2 A4 Q0 {4 L9 t8 R+ z
! A% j/ w1 A1 c
  D- h5 [/ N4 h7 y/ ]翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

& |" p9 @8 z5 x6 Y. w3 ~5 G

不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

. J1 s- g' R# j' d
6 {6 C5 N8 U" T% ?" j# I7 a
2 I5 S! e( u% I/ g/ ?- V数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
- ?& d& \) h7 J' g

- m3 @, [% c* U. w- f
0 Q: g3 e* z/ G1 b) G" Y7 _傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

  V' B. D# z. l: f. {6 G拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

6 x0 \7 c# u# g# G: d
0 V/ h& B5 Z% k* d! n
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
. i/ d" v1 R( Z; U以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
2 \, e' i* q' `# h( s. O' f又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

) ~7 B! R$ f7 Q0 q6 h" N对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积