, w+ f( M' \% U4 i0 O" H: Q; p最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。% v0 u* J. F' b
" T, t: o/ y* n; a6 ]- T
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。 / J" _" }1 ~- O X6 Z% g9 X2 K D* F' [: P9 e7 x
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？$ e' `7 W3 e- B. ]5 E2 \) H7 P
' ]* U" R- \+ F: ^ v6 Z c7 M; O( }0 ?1 v$ a+ |, R
% N9 J& G3 w- P7 O# l% u
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式： 5 I E* p- A" M5 F$ F7 E/ }* t- t) o u ( P6 j% y3 g. L0 \- d' m! i/ E' J$ Z5 ^ C
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法0 y: s! h5 { c% [; K V4 ~* Y' i
0 s y4 A6 w! ]1 h- D 9 s& Y% N! G) C. l7 N5 z) t$ O0 D , N( [- z2 }6 I+ U7 X! v数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。 # ?# r) s4 V! ]0 X0 z- A) r% g( `' U, M " _/ ]9 v1 I7 u1 }( G " r ]& u$ N( r傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？4 @: A3 n+ F3 u5 F o" M% H
/ ~6 I+ R8 o2 @" T9 B; r
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。 9 {" o( m9 [& ?# ]+ Y G. v+ `# D 6 [" W6 ]" d+ c9 N x1 K ' G( \( x7 N) D t/ e3 ^指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。 & z3 r$ x: ?+ Y3 ^+ Y" f' D: y4 C+ `# k$ z
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
雷达卡
楼主
收藏
分享
淘帖
支持
反对
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
抢沙发
千斤顶
显身卡
发表于 2023-9-27 12:05:26
