设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 2005|回复: 5
打印 上一主题 下一主题

[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

[复制链接]
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    跳转到指定楼层
    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ; ~- C  X# Y/ A, F& f: O

    9 F9 a4 H6 p$ Q7 ?  }. D最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
    4 I4 J! L0 K5 l3 l/ v; d& L# ~( Z- o- [9 h$ f: D
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。% y5 a4 K# B. P

    2 v6 b0 ]' S: m电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?4 h; \; N6 T8 U2 m+ C  y6 Y
    0 v( v, Y% b1 U: j4 U0 @: K
    , N9 t+ p, F" E
    : h7 T2 G0 T7 v6 H9 w; z( o
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:0 n& X+ B/ u. j! m% `0 S7 v6 ]

    ) j0 g  }9 L4 B$ W* w' x6 {
    5 h( @' |* a7 ^4 E" }* _! Z5 I
    . M2 p5 ?- R$ H6 B不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
    : v9 C/ t% i6 ]
    % a( M' y& J6 ^; D  O8 F- |4 o4 N1 s; A* a, [- p; j

    6 m6 s) p1 W& b数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。  L6 @9 L& `. h6 B2 O" A/ j
    " t) }: e, M8 B+ m; O+ c

    2 k7 {- o5 J6 F; W+ U
    * o4 ~) T' y: m/ L" T1 O傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    4 ]8 L  B! m; L0 C! z3 M1 J. p/ @( A. d, o( N* `8 c4 \$ a2 n
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。* T- e9 j# _2 }- Y2 X
    - W& y- a1 k1 S" ~( F$ k

    3 p4 r9 t% W# ^: Q8 I
    ! |# n( k1 Z4 b4 k' g1 x1 R( W指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
    ; W  l, P- G" w0 ]- z* }- o- v2 z% g- R: W! W6 F
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

    评分

    参与人数 13爱元 +102 学识 +2 收起 理由
    mezhan + 10
    喜欢 + 8
    老票 + 18 + 2 精彩
    testjhy + 10 谢谢!有你,爱坛更精彩
    helloworld + 6 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    开心
    15 小时前
  • 签到天数: 1754 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来% m) }& C/ M7 j4 g
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:055 w3 n8 I. t: a/ O1 Y( s
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    ( J/ [2 N* v; X" M7 k# M
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    开心
    15 小时前
  • 签到天数: 1754 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

    评分

    参与人数 2爱元 +16 学识 +2 收起 理由
    helloworld + 6
    老票 + 10 + 2 涨姿势

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40! T2 S4 J3 T& A3 _# T
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    4 D1 A# k; W& t# o9 S/ w8 v& H" n
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    helloworld + 6

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2024-12-25 15:53 , Processed in 0.034703 second(s), 19 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表