我理解的拉普拉斯变换

可梦之

& A0 |7 r/ ?" c* H) W" e, X+ _3 K
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
( d$ Z5 p0 \- |
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
7 }! y. h4 U) x9 W. ^9 u
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
9 ^* C, k$ B. ~* m; z3 p2 @
, i" D" c, Y# n
- w5 Z* ~/ N4 k  ^: [' f
/ Q6 w6 S$ a9 E2 [  j' h* M不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
- M+ S; M/ \( f/ D" K2 R
- q. B( {/ T# V& d6 W4 A9 w( N

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
; U& N' ]; R& |2 r! u; U
: [8 D) K5 w! H' t8 i

, d7 G6 i5 P$ X3 i' H; Z" S傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
/ D& j- Q+ y# O% H2 k7 s* T0 X
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。


# i$ P4 z0 L: v
3 N3 W' W0 r2 O3 u, ~: X) q9 k指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
3 j5 s8 `; K( s) M以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

) @- g; c* S/ t0 {' M' x* I对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积