此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
0 V/ n; E- k+ Bhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

- \% }5 _6 |% _2 f; |+ |# p按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
  `! z6 x/ \, F( \* N
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
- B8 v, }# ^8 l9 k) U" G
; j3 B3 j. Y, o2 c+ W5 p; C没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
) Q2 a( R/ w$ k/ b' r5 V
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

* P- J) [- D7 _您对答案的理解似乎有误。
/ `6 J' E3 D: M! Y# g/ y' q随机变量X是测试过的元素的数目
: X( b- |! c# [7 D. l* ?2 h而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; _: v  l/ T( Z0 \所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
$ u, |/ H4 P1 W- n; E- p9 K: |您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
8 ~" w1 N1 j  E3 J: n" j6 _, s* Q
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ L( s8 p. r9 f7 |* `/ R6 P4 qE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
+ n$ X( N8 U$ D% q* g$ Y2 F7 [5 i% R" |2 jFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
1 V5 a% s2 i. I( P+ S
; y5 t7 N8 a, P, f原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
$ h$ e: j# C, @/ O  n* ^您对答案的理解似乎有误。
& U8 B* f; j$ p0 P' X1 A1 }随机变量X是测试过的元素的数目
  Q: @; m- O3 C* I% [而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

1 w- M+ G' I& g明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
1 z5 p5 K, q( s% {& d" }# X多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
% K2 _3 H! q0 ^# |这个题目可以用递归的方法解决：

* Y6 ~6 q: h/ i9 yE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ z4 d, g! T6 ?( {* K& l" M) {
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 j& ~* E' f$ ~3 f递归法也是可以的。

3 ]7 x1 Z7 k* ~  s( H( V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
, n7 C4 }5 O: N其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

# d0 N* w4 Z" ]/ D9 B" C5 ]0 O我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
) j+ @5 D/ u4 P# o' T$ h% d
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
2 h" m6 x# i6 @9 z" l% d* i3 b
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

" n9 ?% M+ @+ n5 N$ d, r1 iFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
7 v8 U+ D% i, T, |: T6 Q) L
. j2 l9 U: h( O' e# X7 fThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

) Q  X* C2 w3 L8 U, ?理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。