此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 r1 t( U6 Z6 m8 K) |# @
3 @& J9 A' t6 \, @3 B5 {其实是个概率问题。
. Y2 c+ ?1 X4 }" U; y2 H那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
" R: T2 ]' q7 j- ]1 s$ H  Z6 r4 z
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

- r, f. V. w# p8 Y" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
( ?+ l) k6 s, {4 B
  p9 O, y; ?4 N" V* x5 Z2 i. T2 F老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

' V: m9 _2 G1 A- _: C) A  p2 j2 F
您对答案的理解似乎有误。
8 H. `% K7 b% g; e2 L/ f随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; b& B: r+ o  v0 N2 w) @所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
; N' l; T& D: v  F) N1 k2 y3 R) R7 {您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

7 f% M8 s, \2 ?9 H1 N8 O5 U然后从头开始：
E(k|k)=1
9 X6 p9 A2 Q4 PE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

$ O" Y" c0 `3 E7 x) g, f1 O原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
" B: u' r& C# O: F8 W1 D- A& z您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
0 B* E* }* X- C) P/ T4 ?而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

7 S5 B% h9 I' R+ F% ?0 f明白了。
: [) ~: `7 |* I. |$ m是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
9 H* {) d1 N2 f3 H多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
6 b  G) W( e2 d7 x% _' b
" |$ H% Q$ Z  ME(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ E! {4 A& D( [4 p" n9 E7 C: u% m递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

3 @8 y9 z! v$ h; |6 O$ u其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

& B0 m( }. `! ~+ q7 t

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

1 ~& h0 f/ x  }8 Z( A. C4 d
$ {! T, ]/ ~  l我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
; N0 l- `, Q6 w! [' T/ U2 V- {否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

* Y3 D- p, }& E$ |, l而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
% q7 n2 `) h* T所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
' |3 V2 @5 f6 }- ?1 R
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
! N8 z& }3 f' u; S' K6 [
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 a: @( W/ d& `; r6 _
$ s+ L6 c5 T0 ^, nFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
* r; {  v" R# T& v
9 d8 b+ T5 \% |. M5 @2 |There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
; P, j: U* k6 e  I
5 R' @/ s( u) B  i理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。