此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
. y' U6 E; G7 m/ {5 E那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
) p0 {5 i, S& d  ]9 H2 ?问题就是这个人的表述
7 @9 v9 d: j) _- x2 ^$ b8 U) s' shttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

2 b: U% c7 n7 g' a8 n老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

( z% O3 w# N6 n3 q" ^) _) x8 z/ Y
& k% k8 q( Q$ H+ ]) X您对答案的理解似乎有误。
: X/ {/ P8 |. ~. f& s  S) c: t2 o随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
: O( s# X: Q/ f4 w8 A6 F而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
0 E1 l+ r' E: V; r" X. A6 J
6 z9 ^! f; }& k1 z6 M% @: q3 U* NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

/ Q* @3 u" X' @8 G) }9 B然后从头开始：
- H9 X) @7 m! ~; O6 K$ J- b( {E(k|k)=1
5 f3 a5 I" v: u0 EE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
8 L7 t4 R7 u+ m" TE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
/ [: x; l# r' v* R5 K5 Y  f/ mFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
0 [+ M. ]1 g4 ^- F0 F
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
& t; V) Y4 t0 z; `1 o# m随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
: x2 N4 R2 Z" C( X! ]多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
& _5 n' O/ O7 I- }这个题目可以用递归的方法解决：
+ J' _# r, o( q% q6 J2 w
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

6 ?' Z( g/ s+ W4 Y4 D. j4 V递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
' C5 [) D$ |  b) x( J8 X0 [递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

9 M+ k( M! [# x, J+ ]  x+ s5 r

老福 发表于 2022-3-26 12:01
! r8 h* U3 B0 s* M+ Q& c其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

4 e. q  U3 t! g% {我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
0 V- C" K' z9 ~2 @否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

" `2 y$ ^( ^7 c4 n1 z$ TLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; X- I% j( x: X& \
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
8 y0 w- ~4 p6 q" L
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
$ {; ?- {; Z* E8 u& }  o
. x8 \9 E$ U3 b9 b! MThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

. l: U( M& A. q理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。