此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

. u! i) a) x. C: R, c
8 g0 G8 x7 g8 j8 P. l& [6 z7 J! V其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
5 M' f+ F3 ?5 F; C/ j$ a* O! \问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
* `+ X+ {  k& B& m$ C- |3 J2 }
* t9 N& p0 v+ O' l3 L- i  Z" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

/ o+ c7 R3 b. u* C* `9 ~+ a没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
+ g3 v  J1 q7 j+ n+ A
- v% e8 m0 Q; s+ k! K  y. {老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

+ u+ g5 ^' P/ y; M  i) m" i3 m% A
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
, k. E* X4 d0 \" o. A: @而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
+ \: w5 x3 ]5 |& x7 V3 S+ p3 \所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
2 c4 j$ Q2 u+ M+ z: o而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
% p. x. D) g' k$ H( b; c5 s
, P: P6 E. V* F3 A' d8 ?  P  iE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) _3 x: v: |6 h% h: F3 b然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
1 _( a# O, g; W& [4 U& o; nE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
2 A: {+ P# u* [+ {' A- C  ?* uFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
0 U" C  r$ w; ~3 }, `8 q随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

" |! T) m) r/ e  a7 v% N: I. b明白了。
4 A; C6 G; t4 w7 \$ r( Q5 Z是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* r+ u. K& A: b- t多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

& Q- A$ s  x: c$ K; ]3 aE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

: H# t: Z- k, v$ p3 [1 W
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
3 L& b1 G$ n" z% g6 P! q( t递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

: x2 ?; C& p  ~- @. C2 L0 N3 {; R

老福 发表于 2022-3-26 12:01
' T  `: y! b3 ], P; w其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

0 r7 T# k# K& D" N% `. G$ y; g* g我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

1 ]# t. ^% |5 l( e2 X: T' [% S0 I) X% o而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
6 C& o! \5 J$ r' _# M
1 \, J, O) x3 _! Z! Y9 c! Z" P$ k& pLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
2 |) m9 s  R& E
& m9 w5 a' A$ P+ l" `) Z! H3 x理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。