此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

( F" A8 p! U! o# Q其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
+ L! I% j+ C3 ^! K$ V
% x7 A  h0 E/ z8 t1 B- ^3 x# Y- `5 t按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
6 q4 s8 A/ Q9 v
% b! |; `# D9 G6 Q5 L( ]" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
/ ]8 q8 V& h: f; u7 C' v4 c/ M
( U2 @8 I: _% R. |* t没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

# d/ M, G" U3 E+ z老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

3 F/ J9 K. f/ M) L3 E# {2 @
: v: P4 B, \. p: _您对答案的理解似乎有误。
( P$ P% @4 a, h随机变量X是测试过的元素的数目
, h' O. m# @7 y  m. r' H$ R. _0 [3 s而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
' {7 b; l5 D8 W! \您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

9 }3 a+ r' R. U; LE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

# A; z9 |& C' j, `然后从头开始：
5 e- F* x9 H- YE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
6 y8 H/ W) B5 N/ c2 `/ d# D) JE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

4 ^0 L: v$ H- {( v" h8 v3 B原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
5 y$ r) c6 V7 A5 @- s而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
# r9 g. H6 Z! X是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
' [% a: n9 k8 P- x0 Z) C多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
* _5 N6 I  L1 ~7 v+ p6 G这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- D8 h! k0 _2 Z7 _5 \1 [* H
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

6 h! |3 Y0 e" D. U4 ^9 I# z

老福 发表于 2022-3-26 12:01
( ?$ |- B& Z/ j其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
" Z1 h7 u. x- ?3 ]4 E" M8 I否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
- X% e0 o2 F8 J7 T1 i6 }; |
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
( T  J& X4 `0 U所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
" \$ u  j2 i) m9 Q, H9 }. D
/ O" E% Q- J8 c% {  t3 M6 rLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
7 ]% x4 u- p7 |. ?5 z# }
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
$ K. X  @) I% x  o
/ R  Z9 t1 h4 t. CFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

. Y. J2 w: ^3 uThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。