此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

2 m, ]  s! A- A; z* B0 H) L. }
其实是个概率问题。
) f. ?* k7 ]2 m/ u. q- l, u那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
6 @3 [4 c- l7 E; x在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
) a; p* [5 t: _2 w/ V" O问题就是这个人的表述
6 T7 N( t" {8 X" ~# nhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
% z) `$ X7 x6 n# P. h  g3 l+ l$ y- |
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
5 X1 f; A2 ^* }! z0 R, e" ^
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
4 Z6 w5 a6 @. p1 ~
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

3 K0 j- U2 k/ I
您对答案的理解似乎有误。
5 ?2 S/ C+ c0 n7 \; I2 n随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; I1 g/ y! f9 X9 K( i) G所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
+ c: H% s, H8 n+ Q2 s/ Q& N而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
' S+ E: V) [4 X2 G' i4 ?# S
6 U* J3 T. G) K1 j0 T+ SE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
+ A* K8 |- M+ y! c+ h. F
( `3 c( P! x& k/ J然后从头开始：
9 D6 V2 v7 U( B& T$ SE(k|k)=1
1 Y& F& z) w$ z( N$ PE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
3 H# a( b, [  [% IFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
5 ^1 E! ^  m: E+ z" m/ S7 N& f- B
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 V) I! ]; W# F) b您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
1 A- W1 B  H' x$ e是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
) ?: g( B+ g  s4 C- @, j, s多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
+ k7 k" A  {' I. ]4 ^
3 a0 q8 X2 W% E9 x# KE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) V" O2 N1 g* @6 a
  H, ^7 v' D; m5 w8 n/ o' \递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

% c5 B6 y. }2 W6 v" O* [0 A  H我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

- ~8 y* `5 p! o而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
  Y0 L$ j: I% A, l- W% F所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

( h$ g- x& U0 u. N, YLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
# j' u' y& ~# T  [
, J% V- g* g! E& D8 ]: fFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
2 h% p+ y/ V0 {5 E0 o+ p
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
& d6 d. n+ l+ p
' h; K# R/ W1 |  S& f7 b理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。