此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

* N4 Z" Z7 M* v3 o% B4 d
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
% L" O* e- v6 Q* v& a5 W' H问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
8 h# F+ \6 R% @& o) ~
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
  G1 u+ W1 O3 ~: L. w/ q6 B/ i
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

7 `. u8 H  G- {6 s, D7 n& v老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- I4 \) a! u$ o; W( u/ E
1 C8 m' v- E8 Z+ N6 _您对答案的理解似乎有误。
4 F, A; e9 L. L, G随机变量X是测试过的元素的数目
* H% }2 B* Y* u5 {% k/ v5 h( ]2 {而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
+ n9 l+ q5 K7 Y- _7 a4 {所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, O) d/ x, ]: h) Z' s然后从头开始：
9 U/ ]0 K' g( B0 N$ Z' x# E: {E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
# f/ O; S* Y# t' J' a4 w) pFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
' r# P+ a0 o1 p& M( T8 K& B
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
6 D  W4 O2 W9 R随机变量X是测试过的元素的数目
' N7 M: E& Q( q2 h而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
  c9 ?% q0 O: ~是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* [5 H* H3 ?( z/ z' E5 M多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
0 m4 A% }' @4 I) Y
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 c3 |5 N' X3 w( U2 g  \. X  f
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
0 f- N9 {) s; S递归法也是可以的。

7 P( D* b; G& w# r* f: W  Z. E其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
4 D9 i) d3 i' q其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

0 ^+ H7 q9 Z+ X& s7 |8 G4 s7 }
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
& A8 n, T; d: c& B# X' @# H5 g) ]否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
( |3 Z: X, w0 n& H2 p' b' h
4 ~8 M8 @: X$ f4 f5 ?: b而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
" _! @6 b/ k* Q$ f4 Y) L所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
3 R( T& H& l9 y+ v& y6 E7 o
8 d) i1 ?, _' @Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
% m$ G1 i$ H9 N3 E) K: N% ~
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

8 R3 C5 l! s( g4 ]! v# x' ~For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
0 z6 I7 ]5 l! H$ r+ @$ a
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。