- 2分/3分投篮题

假设两个队比赛，A队只投两分，命中率100%，B队只投三分，命中率66.6%，两队篮板球能力相当，另外犯规、罚球、抢断、失误、盖帽都是零，请问长时间打下去，哪个队会赢？

============================作者的答案============================

答案是只投3分的B队会赢，而且不是赢一点，是碾压性的优势获胜。在讲解原因前你必须知道两条最基础的篮球规则：

1、当你投进球后，就换对手发球

2、投不进的球从空中落下叫篮板球，谁有本事抢到，谁就可以继续进攻

A队命中率100%没啥可说的，B队命中率66.6%，就会产生334个篮板球，假设这些篮板球全部被A队抢走，那实战中的情况是两队轮换交替出手。A队进攻1000次，B队也进攻1000次，比分是2000:1998，A队赢2分。但题目里说的很清楚，“两队篮板球能力相当”，334个篮球板，B队哪怕只抢到30个，就可以多投30次，轻松击败A队。

很多人脑子转不过来，是因为没想通实战中B的出手次数>A的出手次数，A因为百发百中，投进后球权自动交换给B，所以每一次A投完下一次一定是B投，而B投完有一定概率抢到篮板，可以继续投。所以如果列一个出手攻击表的话大概是这样的：

ABABABBABABABBABABABABBABABABBABABABABABABBAB

只有连续投篮的BB，没有连续投篮的AA，所以最后B大胜。

以前我们总是觉得三分球40%的命中率，大概相当于60%的两分球命中率，可是通过上面这道题你会发现，40%的三分球命中率还有隐含的杀伤力加成，真实效果大约相当于66%的两分球命中率。

现在NBA有一个叫库里的神投手，三分球高达45%，真实效果大概相当于75%的两分球命中率，从这个角度看，他的攻击效率是篮球史上最高的，远超公认的篮球之神乔丹。所以有很多人说，这个191的矮瘦小个子正在改变人们对篮球这项运动的认识。

======================可惜我不太同意=======================

作者的核心论据：ABABABBABABABBABABABABBABABABBABABABABABABBAB

只有连续投篮的BB，没有连续投篮的AA，所以最后B大胜。

可是问题在于，BB ，BBB，BBBB，BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB，能够出现的前提是，前N个B都没有投中，否则就该A出手。

因此，期望B=BB =BBB=BBBB=BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB=2

所以，作者的问题是，只考虑了概率，而忽视了条件概率。

所以，结论不赞同。

==================================后来的讨论====================================

原作者很聪明，他把问题转化成了，ABABABB这样的出手表作为中间步骤，然后再把单次的期望代入就行了。

我只是不赞同他代入的过程。
其实唯一的变数就是B不中，然后1/2抢到篮板，然后又1/3不中。所以每个“小”循环是：
ABA
ABBA
ABBBA
AB。。。BA
因为B连投的前提是前N次不中，所以代入期望值，就是ABA。。。。。。这样。
陷阱有两个:

1、忽略得分后改由对手发球的条件。这样会认为例如BBB=6，从而得出B大胜的结论。原作者就这样。

2、注意到了1，但是忽略篮板A也能抢到。这样会得出B小胜的结论。
B下一次连投的概率是1/6，用等比数列求和，就是1/（1-1/6）=1.2，只能说B的投篮次数多了。

用仁兄的公式， B=A+（1-M）B/2这是B的得分。
但是 A也能抢到篮板:A=A+（1-M）A/2

我一开始相信作者的答案，后来发现不对。反复推翻自己的结论很多次，确实烧了不少脑细胞。

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另外，没人注意到是两道烧脑题吗？

另一个是三门问题（Monty Hall），这个隔一段就有人提出来，我就不提了。