求教：一道数学题的解法。

绿葱头

这道题是这样的：
　根据历史统计情况，某超市某种面包的日销量为100、110、120、130、140个的概率相同，每个面包的进价为4元，销售价为5元，但如果当天没有卖完，剩余的面包次日将以每个3元处理。为取得最大利润，该超市每天应进货这种面包（）个。
　　A.110
　　B.120
　　C.130
　　D.140

我的想法是第一天卖不完的会影响第二天的销售，比如每天进货110个，第一天假设卖掉了100个，第二天假如能卖120个，那第二天全部能卖掉，挣110-10元。如果第二天能卖110个，那么第二天还会剩10个，影响第三天的收入……
因此我简单计算了下，蒙了A，但我不知道如何用数学描述，书到用时方恨少：（。
网上有种答案感觉是基于不影响第二天的销售数量计算的（见下图）。

我觉得不对，求教各位，这道题应该怎么算？

code_abc

是否还要考虑上一天剩余的对今天的影响。比如进110个的策略，销售了110个，但其中10个是上一天剩下的，结果还是有10个剩下。而当天的利润只有90。

ccqi

如果上面那个二维表思路是对的，那么用119和121分别试了一下，确实是120最高。

tianxq888

对称选中间，想都不用想

loy_20002000

用最傻瓜的办法解决吧。

100、110、120、130、140个的概率相同，所以单个事件发生的概率为20%。那么期望E(X)=100*20%+110*20%+120*20%+130*20%+140*20%=120。再根据弱大数定律，销售均值=120。

进货量大于均值，长时间销售的情况下供大于求；进货量小于均值，长时间销售的情况下一定求大于供。两者的亏损在概率上是相同的，都是每个面包亏损1元（需求没有得到满足也是亏损）。把进货量控制在均值附近是亏损最小的做法，即120附近。

分析这类问题从全局看比较好解决，从单个事件分析会十分复杂，并且没有普遍性。个人观点。

绿葱头

loy_20002000 发表于 2017-7-4 09:21
用最傻瓜的办法解决吧。

100、110、120、130、140个的概率相同，所以单个事件发生的概率为20%。那么期望E( ...

对“需求没有得到满足也是亏损”这句不解，我刚写了程序用随机数模拟了下，被结果吓到了，如果按照前一天没有卖出的面包算入第二天的销量的话，120就会亏损，我看下自己的程序有没有写错，有时间了弄个js版本大家讨论下。

牛腰

答案应该是A。

假设你每天进货x，前一天剩面包y，当天的总销售量（应该是市场需求）是z，你当天的利润是MIN(x，z–y) – y。如果当天的市场需求大于面包供给（当天进货量加上前一天的剩余），多余的需求对你的利润没有帮助。但是如果面包供给大于当天的市场需求，多余的供给会减少你下一天的利润。因为这个不对称性质，当天进货的平均面包销售量（能赚钱的那部分）肯定小于平均市场需求。如果连续计算的天数是无穷，那么只要平均当天面包销售量小于平均市场需求，总利润就是负无穷。

在4个选择里B、C、D都大于或等于市场需求，它们的利润都是负无穷。所以A是唯一可能的选择。

loy_20002000

绿葱头 发表于 2017-7-4 13:53
对“需求没有得到满足也是亏损”这句不解，我刚写了程序用随机数模拟了下，被结果吓到了，如果按照前一天 ...

“需求没有得到满足也是亏损”我的意思是这样的，举例子说明。假设进货为100个面包，而客户需求是120，由于每个面包赚1元，少卖20个所以亏损20元。同理的，进货140个面包，而客户需求是120，由于只能降价处理，所以多出来的20个面包亏损20元。

“如果按照前一天没有卖出的面包算入第二天的销量的话，120就会亏损”对于这个问题我是这么看的，不妨分情况讨论。

1.如何看待亏损。如果降价就是亏损，那么只有100这个选项不会亏损。但题意显示80%的情况下消费者需求都得不到满足，这也是一种亏损。

2.我为何说亏损，而不是盈利最大化。这涉及到概率或统计中的局限性，我的水平目前还无法整理成完整的思路。

3.盈利的分析。进货为120，根据题意60%的情况下是这个销量（120、130、140的消费者需求量都是销售总计120个面包），20%的情况是100,20%的情况是110。

E(X)=120*60%+80*20%+100*20%=72+16+20=108

这与主楼图表的计算思路类似，当选择120的情况下盈利最大化。

4.概率计算的局限性。你的困惑主要集中在这里，由于面包是不可长期保存的商品，如果大量滞销则损失不会是1元，而是成本4元。概率计算都遵循大样本原则，对小样本不适用，这里举例说明。假设进货是100个面包，有可能连续半个月出现140个面包的旺盛需求，这里每天损失40元的盈利。假设进货为120个，也有可能连续半个月只能卖出100个并且消费者优先选择新鲜的面包，盈利仅仅为20元，亏损高达80元。

由此可以把题目重新改造以符合实际情况。

根据历史统计情况，某超市某种面包的日销量为100、110、120、130、140个的概率相同，每个面包的进价为4元，销售价为5元，但如果当天没有卖完，剩余的面包次日将以每个3元处理。面包在第三个销售日没有卖完则做报废处理。为取得最大利润，该超市每天应进货这种面包（）

这里还没有完。消费者选择新鲜面包或降价面包的概率是多少，这也是需要考虑的问题。我们不妨假设80%消费者选择新鲜面包，20%选择降价处理的面包，如果新鲜面包销售完消费者选择降价面包。

我设计了几种方案，没有一个可以解决我修改过的这个问题。考虑了近俩钟头，引入保质期就变得好复杂，这就先按下吧。

5.随机数的问题。计算机都是伪随机，所以编程验证会有一些麻烦。假如不考虑面包保质期的问题，并且有真随机，最恰当解是120个。你可以试着分5种情况编程进行比对，不能只考虑120这个情况。

loy_20002000

牛腰 发表于 2017-7-4 15:35
答案应该是A。

假设你每天进货x，前一天剩面包y，当天的总销售量（应该是市场需求）是z，你当天的利润是MI ...

你这个思路是错误的。利润=新鲜面包销售量 - 降价面包销售量。降价面包销售量做到最小并不能保证利润最大化，因为牺牲了新鲜面包销售量。120的情况下仅有40%的可能消费者需求得不到满足，而110却有60%的可能消费者需求得不到满足。

你的意思或许是指当天面包剩余会挤占下一天新鲜面包的消费量。如第一天120的进货，销售100则剩余20。第二天假如是120的销售量则利润很可能不是120，如销售了100个新鲜面包，20个降价的，那么利润是80。不管怎么理解，这道题的实质是概率计算。算一下期望就知道110这个选项小于120。

老马丁

题目要改一下，每天销售新鲜面包的概率是---------------。 不然这个问题非常复杂，还得假设消费者面对新鲜的5块钱面包和不新鲜的3块钱面包的选择。以及，卖家面对过期两天的面包如何处理（销毁还是继续降价）。 否则，第一天剩下的面包可能到第三天还没卖完。

牛腰

loy_20002000 发表于 2017-7-4 18:21
你这个思路是错误的。利润=新鲜面包销售量 - 降价面包销售量。降价面包销售量做到最小并不能保证利润最大 ...

这道题问的不是一天的期望值，而是连续多天（接近无穷天）的总利润。如果面包总量小于当天的市场需求，没有被满足的需求量不会增加第二天的需求量。所以市场需求量平均120，实际上能卖出的面包数量期待值小于120。这样积累下来总利润就是负无穷。

建议你自己编程算一下结果，很容易验证。

loy_20002000

牛腰 发表于 2017-7-4 20:55
这道题问的不是一天的期望值，而是连续多天（接近无穷天）的总利润。如果面包总量小于当天的市场需求，没 ...

这里先假设面包的保质期较长，就打1个月吧（这个假设不合理，仅仅为了讨论的方便）。在这段时间生产日期较长的面包被降价销售，而新鲜一些的降价面包不断替换生产日期较长的。如1周的面包替换2周的面包。

1.题目给的是大样本下5个情况的概率分别为20%，我假设它是真实的参数估计。120的进货量滞销有两个情况100、110，分别滞销20、10；而存货不够有两个情况130、140，缺口是10、20。由于各项是等概率的，在时间足够长的情况下，滞销的存货被后者吃掉是肯定的。

2.日期望值可以知道日平均值是多少。120的期望是108,110的期望是106。根据弱大数定律，日平均值会在期望附近震荡，不严格的说日平均值==日期望。由此可见120优于110。

3.利润趋近于负无穷的说法不成立。以下分情况说明，均设进货120，进货投入=480。

销售100。销售收入=500，当日利润=销售收入-进货投入=20。

销售110。销售收入=550，当日利润=550-480=70。

销售120。销售收入=600，当日利润=600-480=120。

在不计算滞销的剩余面包的情况下当日利润为正数！哪怕是最糟糕的100个/日也有20元的利润。再加上滞销面包降价销售回笼的资金可以算作纯利润，利润只会更高。

说明完毕。

牛腰

loy_20002000 发表于 2017-7-4 22:19
这里先假设面包的保质期较长，就打1个月吧（这个假设不合理，仅仅为了讨论的方便）。在这段时间生产日期 ...

你的说明只有在滞销面包成本为零的情况下才是对的。你自己编程算过吗？

loy_20002000

牛腰 发表于 2017-7-4 22:55
你的说明只有在滞销面包成本为零的情况下才是对的。你自己编程算过吗？ ...

滞销面包统统销毁依然有利润，这还需要编程？

牛腰

loy_20002000 发表于 2017-7-4 23:00
滞销面包统统销毁依然有利润，这还需要编程？

它们的成本怎么算？

loy_20002000

loy_20002000 发表于 2017-7-4 23:00
滞销面包统统销毁依然有利润，这还需要编程？

再补充一个计算。假设日进货量140，日成本=560，以日为单位。

销售100。销售收入=500，利润=销售收入-日成本=500-560=-60

销售110。销售收入=550，利润=550-560=-10

销售120。销售收入=600，利润=600-560=40

销售130。销售收入=650，利润=650-560=90

销售140。销售收入=700，利润=700-560=140

日平均利润=40。注意：滞销面包销售率为0，而日均依然盈利。

loy_20002000

牛腰 发表于 2017-7-4 23:20
它们的成本怎么算？

例如。日剩余20个面包就是80的成本，我的处理是不再上市，净亏损80。在这种极端假设下依然盈利。

另外补充一个，楼主图表的后两项计算是错误的。因为滞销面包不可能销售完，累积是正无穷。

牛腰

loy_20002000 发表于 2017-7-4 23:37
例如。日剩余20个面包就是80的成本，我的处理是不再上市，净亏损80。在这种极端假设下依然盈利。

另外补 ...

我的理解是滞销面包必须先卖完才能卖新鲜面包。在那种情况下滞销面包数量积累是正无穷，利润就是负无穷。如果卖面包的顺序是可以先卖新鲜面包，然后再卖滞销面包，那么滞销面包全扔了都有利润。所以问题的关键在新鲜和滞销面包卖出的优先权，得出的结果就不一样。

视觉错误

想复杂了，选择题而已，不会去考虑卖不掉的影响第二天的销售。
“剩余的面包次日将以每个3元‘处理’。”——我理解“处理”，就是不计入正常销售的。

loy_20002000

牛腰 发表于 2017-7-4 23:53
我的理解是滞销面包必须先卖完才能卖新鲜面包。在那种情况下滞销面包数量积累是正无穷，利润就是负无穷。 ...

日进货量为100、110、120可以卖空滞销面包，130、140累积的滞销面包是正无穷。

你的假设不合理呀。新面包的利润高于滞销面包，商家不可能优先卖积压货呀。可以这么假设商家新+旧一起卖，消费者优先选择旧货，这又是另外一个问题了。